Если прямая (DC), параллельна какой-нибудь прямой (AB), расположенной в плоскости (α), то она параллельна самой плоскости. Если плоскость проходит через прямую (DC), параллельную другой плоскости (α), и пересекает эту плоскость, то линия пересечения (EF) параллельна первой прямой (DC). Расстояние от прямой DC до плоскости α - это перпендикуляр из любой точки этой прямой на плоскость α. Итак, в прямоугольном треугольнике АЕD катет АЕ равен по Пифагору АЕ=√(AD²-DE²)=√(36²-18²)=18√3. Угол между двумя пересекающимися плоскостями равен углу между прямыми, по которым они пересекаются с любой плоскостью, перпендикулярной их линии пересечения. То есть угол между плоскостью α и плоскостью квадрата - это угол EAD, cинус которого равен отношению противолежащего катета к гипотенузе: Sinβ=ED/AD=18/36=1/2. Значит угол между плоскостями равен 30°. Площадь проекции квадрата на плоскость α - это площадь прямоугольника AEFB, равная S=AB*AE=36*18√3=648√3см²
Примем длину ребра пирамиды равной 4 (для удобства деления на части).
Так как у пирамиды все рёбра равны, то в основании квадрат 4х4, а боковые грани - правильные треугольники.
Заданные отрезки как высоты в правильных треугольниках равны между собой и равны 4*cos 30° = 4*(√3/2) = 2√3.
Перенесём отрезок MS точкой М в точку А, то есть на величину в 2 единицы. Точка S передвинется в точку S' так, что её проекция - это середина стороны АД.
Находим высоты точки S и точки К.
Диагональ АС = 4√2. Тогда треугольник АSС - прямоугольный, так как АS = SС = 4. Углы наклона боковых рёбер к основанию равны 45 градусов, поэтому высота пирамиды равна половине её диагонали основания, то есть 4√2/2 = 2√2.
Высота точки К равна половине этой величины, то есть √2.
Проекция отрезка S'K на основание равна (1/4) части диагонали, или √2.
Находим натуральную длину отрезка S'K как гипотенузу в прямоугольном треугольнике с одним катетом √2 и вторым, равным разности высот точек S' и К, то есть 2√2 - √2 = √2.
Отсюда видим, что длина отрезка S'K равна 2.
Все стороны треугольника S'АK определились и находим искомый угол между заданными отрезками как угол А в равнобедренном треугольнике со сторонами 2 по 2√3 и 2.
Этот угол равен 2arc sin(1/(2√3)) = 0,585686 радиан или 33,55731 градуса.
Расстояние от прямой DC до плоскости α - это перпендикуляр из любой точки этой прямой на плоскость α.
Итак, в прямоугольном треугольнике АЕD катет АЕ равен по Пифагору
АЕ=√(AD²-DE²)=√(36²-18²)=18√3.
Угол между двумя пересекающимися плоскостями равен углу между прямыми, по которым они пересекаются с любой плоскостью, перпендикулярной их линии пересечения. То есть угол между плоскостью α и плоскостью квадрата - это угол EAD, cинус которого равен отношению противолежащего катета к гипотенузе: Sinβ=ED/AD=18/36=1/2. Значит угол между плоскостями равен 30°.
Площадь проекции квадрата на плоскость α - это площадь прямоугольника AEFB, равная S=AB*AE=36*18√3=648√3см²
Используем метод переноса.
Примем длину ребра пирамиды равной 4 (для удобства деления на части).
Так как у пирамиды все рёбра равны, то в основании квадрат 4х4, а боковые грани - правильные треугольники.
Заданные отрезки как высоты в правильных треугольниках равны между собой и равны 4*cos 30° = 4*(√3/2) = 2√3.
Перенесём отрезок MS точкой М в точку А, то есть на величину в 2 единицы. Точка S передвинется в точку S' так, что её проекция - это середина стороны АД.
Находим высоты точки S и точки К.
Диагональ АС = 4√2. Тогда треугольник АSС - прямоугольный, так как АS = SС = 4. Углы наклона боковых рёбер к основанию равны 45 градусов, поэтому высота пирамиды равна половине её диагонали основания, то есть 4√2/2 = 2√2.
Высота точки К равна половине этой величины, то есть √2.
Проекция отрезка S'K на основание равна (1/4) части диагонали, или √2.
Находим натуральную длину отрезка S'K как гипотенузу в прямоугольном треугольнике с одним катетом √2 и вторым, равным разности высот точек S' и К, то есть 2√2 - √2 = √2.
Отсюда видим, что длина отрезка S'K равна 2.
Все стороны треугольника S'АK определились и находим искомый угол между заданными отрезками как угол А в равнобедренном треугольнике со сторонами 2 по 2√3 и 2.
Этот угол равен 2arc sin(1/(2√3)) = 0,585686 радиан или 33,55731 градуса.