Здесь два важных свойства. 1) Биссектриса угла треугольника делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника. АС:ВС=10:18. В треугольнике АВ=28, АС=10х, ВС=18х
2) Угол АВС равен половине дуги АС на которую он опирается как вписанный угол. Угол АСД равен половине дуги АС - угол между касательной и секущей АС.
Треугольники АСД и ВДС подобны по двум углам. Угол при точке Д у них общий. Из подобия АС:ВС=АД:АС=ДС:ДВ
Такие вот обозначения. CD = z; AD = y; кроме того, из того, что CM - биссектриса, следует, что AC/BC = AM/BM = 5/9; поэтому можно считать AC = 5x; BC = 9x; где x - неизвестная величина. Из подобия треугольников DCA и DCB (у этих треугольников угол CDA общий, а углы DCA и DBC равны, потому что "измеряются" половиной дуги CA) следует, во-первых, известное соотношение длины касательной. CD/AD = DB/CD; => CD^2 = AD*BD; z^2 = y*(y + 28); во-вторых, AC/AD = BC/CD; то есть 5x/y = 9x/z; откуда z = 9y/5; Получается y*(9/5)^2 = y + 28; y = 25/2; z = CD = 45/2;
Примечание, можно не читать. Занятный ответ, причем x "волшебным образом" испарился из уравнений. Похоже, что величины CD = 45/2; и AD = 25/2; постоянны в условии задачи, независимо от длинны сторон AC и BC. То есть вершина C может находится в любой точке окружности Аполония для отрезка AB = 28 и заданной пропорции AC/BC = 5/9; и ответ будет неизменным. Следовательно, есть простой частный случай, с которого можно легко проверить ответ - если выбрать AC перпендикулярным AB.
1) Биссектриса угла треугольника делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника.
АС:ВС=10:18.
В треугольнике АВ=28, АС=10х, ВС=18х
2) Угол АВС равен половине дуги АС на которую он опирается как вписанный угол.
Угол АСД равен половине дуги АС - угол между касательной и секущей АС.
Треугольники АСД и ВДС подобны по двум углам. Угол при точке Д у них общий.
Из подобия АС:ВС=АД:АС=ДС:ДВ
Вд=18АД/10
Отсюда
АД+28=18 АД/10
8АД/10=28
АД=35
Тогда СД²=35·63
СД=21√5
Из подобия треугольников DCA и DCB (у этих треугольников угол CDA общий, а углы DCA и DBC равны, потому что "измеряются" половиной дуги CA) следует, во-первых, известное соотношение длины касательной.
CD/AD = DB/CD; => CD^2 = AD*BD;
z^2 = y*(y + 28);
во-вторых, AC/AD = BC/CD; то есть
5x/y = 9x/z; откуда z = 9y/5;
Получается y*(9/5)^2 = y + 28; y = 25/2; z = CD = 45/2;
Примечание, можно не читать.
Занятный ответ, причем x "волшебным образом" испарился из уравнений. Похоже, что величины CD = 45/2; и AD = 25/2; постоянны в условии задачи, независимо от длинны сторон AC и BC. То есть вершина C может находится в любой точке окружности Аполония для отрезка AB = 28 и заданной пропорции AC/BC = 5/9; и ответ будет неизменным. Следовательно, есть простой частный случай, с которого можно легко проверить ответ - если выбрать AC перпендикулярным AB.