Диагональ основания прямоугольного параллелепипеда равна k, величина угла между диагоналями основания равна α, диагональ меньшей боковой грани составляет с плоскостью основания угол β. Найдите объем и площадь боковой поверхности параллелепипеда.

Нужно полное решение

Очевидно, все сводится к построению равностороннего треугольника ABC с вершинами на параллельных прямых x, y, k соответственно.
1) Возьмем произвольную точку A на х и построим равносторонний треугольникк AMN так, что M лежит на x, а N на y. Пусть C - точка пересечения MN c прямой k.
2) Проведем серединный перпендикуляр к AC. Пусть он пересечет прямую y в точке B. Тогда построенный треугольник  ABC - равносторонний.
Докажем это.  Опишем вокруг треугольника ACN окружность, которая пересекает прямую в точке B₁ (потом докажем что B₁ совпадает с B). Тогда ∠AB₁C=∠ANC=60° и ∠B₁CA=∠B₁NA=60° как вписанные. Т.е. треугольник  AB₁C - равносторонний. Но так как существует только один равнобедренный треугольник  с основанием AC и вершиной лежащей на (это наш построенный ABC), то B₁ совпадает с B.

Прямоугольный треугольник, в котором отношение катетов равно 3:4 ( как здесь) - египетский. Гипотенуза равна 10 см ( можно проверить т.Пифагора).  
Высота прямоугольного треугольника из прямого угла к гипотенузе - есть среднее геометрическое (среднее пропорциональное) двух образованных ею отрезков гипотенузы.
 Пусть треугольник будет АВС, высота СН, отрезок ВН равен х, отрезок АН= 10-х
СН²=ВН*(АВ-ВН)=х*(10-х)
В то  же время 
катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между гипотенузой и проекцией катета на гипотенузу. 
Возьмем катет ВС=6: 
6²=10*х
Тогда х=3,6 см. 
h²=3,6*(10-3,6)=23,04
h=4,8 см------
Т.к. высота прямоугольного треугольника из вершины прямого угла к гипотенузе делит его на два подобных, можно задачу решать через подобие.