Диагональ равнобокой трапеции перпендикулярна боковой стороне
а угол между боковой стороной и высотой трапеции равен а. Найдите радиус окружности, описанной около трапеции, если ее высота равна h.

По теореме Пифагора находим на всякий случай катет АС = √10²-8² = 6.

Вспоминаем, что высота проведена к гипотенузе АВ и делит прямоугольный треугольник АВС на два прямоугольных треугольника АDC и ВDС. Они подобны между собой и подобны треугольнику АВС по трем углам.

Из подобия имеем АС/СD = АВ/СВ или 6/СВ = 10/8. Отсюда 10СD = 48, а СD = 4,8.

Из подобия имеем АС/АD = АВ/АС или 6/АD = 10/6. Отсюда 10АD = 36, а АD = 3,6.

Тогда DВ = 10-3,6 = 6,4

Площадь треугольника BCD = 1/2*СD*DB = 1/2*4,8*6,4 = 15,36см²

Площадь треугольника ADC = 1/2*СD*АD = 1/2*4,8*3,6 = 8,64 см²

 

Проверка:

Площадь треугольника АВС = 1/2*АС*СВ = 24см²

Сумма площадей треугольника BCD и треугольника ADC = 15,36см²+8,64см²=24см²

 

Площадь равностороннего треугольника находится по формуле
S = a²√3/4, где а - сторона треугольника.

Доказательство:
Проведем ВН - высоту равностороннего треугольника.
Пусть ее длина равна h. Высота в равностороннем треугольнике является и медианой. Тогда АН = НС = а/2.

Площадь треугольника можно найти по формуле
S = a·h/2
Из прямоугольного треугольника АВН по теореме Пифагора выразим высоту через сторону:
h² = a² - (a/2)² = a² - a²/4 = 3a²/4
h = √(3a²/4) = a√3/2

Подставим в формулу площади:
S = (a · a√3/2)/2
S = a²√3/4

Высоту через сторону можно было выразить иначе:
в равностороннем треугольнике углы равны 60°.
Из прямоугольного треугольника АВН по определению синуса:
sin∠A = h/a,
sin60° = √3/2
h = a·sin60° = a√3/2