Диагональ равнобокой трапеции перпендикулярна боковой стороне , а угол между большим основанием и боковой стороной равен a.Найдите высоту трапеции, если радиус окружности, описанной около трапеции, равен R.

Отрезки пересекаются в их общей середине. Докажите, что .

Дано:.

Доказать: .

Доказательство:

Тогда, по первому признаку равенства треугольников, .

Тогда .

Поскольку эти углы являются накрест лежащими при прямых и секущей , то по первому признаку параллельности прямых , что и требовалось доказать.

Задача 1: отрезки и пересекаются в точке и делятся этой точкой пополам. Доказать параллельность и .Треугольники и равны по первому признаку равенства треугольников. и по условию. как вертикальные. Из равенства треугольников следует и равенство их соответствующих элементов. (накрест лежащие углы). Следовательно, прямые и параллельные. , что и требовалось доказать.

Примем длину меньшей диагонали за х, другую за (х + 2).

Далее применим теорему косинусов, где диагонали - это стороны треугольников против острого и тупого углов параллелограмма.

Известно, что косинусы этих углов, в сумме равных 180 градусов, равны по модулю и отличаются знаком.

cos A = (10² + 15² - x²)/(2*10*15).

-cos B = -(10² + 15² - (x + 2)²)/(2*10*15). Знак минус поставлен, чтобы приравнять значения косинусов:

(10² + 15² - x²)/(2*10*15) =  -(10² + 15² - (x + 2)²)/(2*10*15).

Знаменатели равны, приравниваем числители.

(10² + 15² - x²) = -(10² + 15² - (x + 2)²).

325 - x² = -325 + x² + 4x + 4.

2x² + 4x - 646 = 0. сократим на 2:

x² + 2x - 323 = 0.

Квадратное уравнение, решаем относительно x:  

Ищем дискриминант:

D=2^2-4*1*(-323)=4-4*(-323)=4-(-4*323)=4-(-1292)=4+1292=1296;

Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:

x_1=(2root1296-2)/(2*1)=(36-2)/2=34/2=17;

x_2=(-2root1296-2)/(2*1)=(-36-2)/2=-38/2=-19.

Принимаем положительный корень: х = 17 (это меньшая диагональ).

ответ: длина большей диагонали равна 17 + 2 = 19 см.

2) В задании, наверно, имеется в виду равнобедренная трапеция.

Если в равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны, то высота трапеции равна полусумме оснований, то есть средней линии.

Примем каждую третью часть средней линии за х.

Находим основания по свойству подобных треугольников.

Верхнее равно: х*2 = 2х, нижнее равно 2х * 2 = 4х.

Средняя линия равна: L = (2x + 4x)/2 = 3x.

Проекции боковых сторон на нижнее основание равны (4х - 2х)/2 = х.

По Пифагору 18² = x² + (3x)²,

324 = 10x².

x² = 32,4.

x = √32,4.

Средняя линия равна L = 3x = 3√32,4.

ответ: S = LH = L² = (3√32,4)² = 291,6 см².