Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке O точки А1 B1 c1 D1 являются серединами отрезков AO,BO,CO,DO соответственно . Докажите что четырехугольник A1 B1 C1 D1 так же является параллелограммом ​

Продолжим боковые стороны до их пересесечения. Образуется прямоугольный равнобедренный треугольник. Пусть большее основание трапеции А. Катет треугольника А*sqrt(2)/2. Другой катет такой же. Биссектриса делит сторону в отношении прилежащих сторон. Значит боковая сторона В удовлетворяет соотношению:
В/(A*sqrt(2)/2-B)=sqrt(2)
B=A-B*sqrt(2)
B=A/(1+sqrt(2))
 Проекция боковой стороны на основание: А*(sqrt(2)/2)/(1+sqrt(2))
Меньшее основание это  разность большего основания и двух проекций:
А-A*sqrt(2)/(1+sqrt(2)).
Тогда : А-A*sqrt(2)/(1+sqrt(2))+A*sqrt(2)*2/(1+sqrt(2))=36*sqrt(2)
A +A*sqrt(2)-A*sqrt(2)+A*sqrt(2)*2=36*sqrt(2)+72
A*(1+2sqrt(2))=36*(sqrt(2)+2)
A=36*(sqrt(2)+2)/(1+2sqrt(2))

Дописал до этого места. Больше нет времени. Пытался отправить как комментарий ( может пригодится). Как коммент. пишут длинный.
Может еще и  с ошибкой. Не нужно, отметьте, как нарушение.

Правильный шестиугольник разбивается радиусами, проведенными из его центра к вершинам на шесть правильных треугольников.
Высота этого треугольника - радиус вписанной окружности.
Высота (биссектриса и медиана) образует прямоугольный треугольник с боковой стороной и половиной основания.
Половина основания - х;
боковая сторона - 2х;
по т. Пифагора - 4х²=х²+12²;
х=4√3;
2х=8√3 см - боковая сторона.
Радиус окружности описанной вокруг правильного треугольника - а√3/3, где а - сторона треугольника.
R=8*√3*√3/3=8 см.