Диагонали прямоугольной трапеции
ABCD
взаимно перпендикулярны. Короткая боковая сторона
AB
равна 3 см, длинное основание
AD
равно 4 см.
Определи:
1. короткое основание
BC
:
BC=
см.
2. Длины отрезков, на которые делятся диагонали в точке пересечения
O
:
короткая диагональ делится на отрезки
CO=
см и
AO=
см;
длинная диагональ делится на отрезки
BO=
см и
DO=
см
Первый вопрос: короткое основание BC.
У нас есть прямоугольная трапеция ABCD, где основания AD и BC параллельны. Диагонали AC и BD взаимно перпендикулярны.
Чтобы найти длину короткого основания BC, нам нужно воспользоваться свойством взаимно перпендикулярных диагоналей прямоугольной трапеции.
Известно, что длина короткого основания AB равна 3 см, а длина длинного основания AD равна 4 см.
Свойство гласит, что произведение длин оснований равно произведению длин диагоналей. Отсюда получаем следующее уравнение:
AB * AD = AC * BD
Подставляя известные значения, получим:
3 * 4 = AC * BD
12 = AC * BD
Теперь нам нужно найти длину диагонали AC. Для этого вспомним другое свойство прямоугольной трапеции: сумма квадратов длин диагоналей равна сумме квадратов длин оснований.
AC^2 + BD^2 = AB^2 + CD^2
Для нашей задачи имеем:
AC^2 + BD^2 = 3^2 + 4^2
AC^2 + BD^2 = 9 + 16
AC^2 + BD^2 = 25
Вспоминаем, что диагонали взаимно перпендикулярны, поэтому AC и BD - это прямые, пересекающиеся под прямым углом. Так как диагонали взаимно перпендикулярны, то они являются гипотенузами прямоугольных треугольников, образованных основаниями и перпендикулярными отрезками.
Нам известно, что BC является основанием, а AC - гипотенузой прямоугольного треугольника. Поэтому, чтобы найти длину BC, нужно найти величину, образованную основанием и перпендикулярным отрезком.
Мы знаем, что AC^2 + BD^2 = 25, и знаем, что BD равно короткому основанию AB. Таким образом, мы можем записать следующее:
AC^2 + 3^2 = 25
AC^2 + 9 = 25
AC^2 = 25 - 9
AC^2 = 16
AC = √16
AC = 4
Теперь, чтобы найти BC, нужно вычесть сумму перпендикулярного отрезка или AC из длины длинного основания AD:
BC = AD - AC
BC = 4 - 4
BC = 0
Ответ: короткое основание BC равно 0 см.
Перейдем ко второму вопросу: длины отрезков, на которые делятся диагонали в точке пересечения O.
Из предыдущего решения мы знаем, что длина короткого перпендикуляра AC равна 4 см, а длина длинного основания AD равна 3 см. Также мы знаем, что диагонали BD и AC взаимно перпендикулярны.
Нам нужно найти длины отрезков CO и AO, на которые делится короткая диагональ AC. Нам также нужно найти длины отрезков BO и DO, на которые делится длинная диагональ BD.
Поскольку диагонали взаимно перпендикулярны, мы можем применить теорему Пифагора для прямоугольного треугольника AOC:
AO^2 + CO^2 = AC^2
AO^2 + 4^2 = 4^2
AO^2 + 16 = 16
AO^2 = 0
AO = √0
AO = 0
Теперь мы знаем, что AO равен 0 см.
Также мы можем применить теорему Пифагора для прямоугольного треугольника BOD:
BO^2 + DO^2 = BD^2
BO^2 + 3^2 = 4^2
BO^2 + 9 = 16
BO^2 = 16 - 9
BO^2 = 7
BO = √7
Теперь мы знаем, что BO равен √7 см.
Ответ: короткая диагональ делится на отрезки CO = 4 см и AO = 0 см; длинная диагональ делится на отрезки BO = √7 см и DO = 3 см.