Диаметр окружности с центром O пересекается с хордой АВ в точке С, ОС = 4см. Расстояние от центра окружности до хорды = 3см. Найдите АС, если АВ = 18см.
Средняя линия треугольника — это отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника.
Говоря о средней линии, третью сторону треугольника будем называть основанием.
Так, на рис. 1 показана средняя линия KL треугольника ABC. В этом случае мы называем
основанием сторону AC.
A
B
C
K L
Рис. 1. Средняя линия
Теорема о средней линии. Средняя линия треугольника: 1) параллельна основанию; 2) равна половине основания.
Доказывая теорему о средней линии, мы продемонстрируем один приём, который бывает
полезен в задачах. А именно, мы как бы заходим с другой стороны: вместо того, чтобы проводить среднюю линию и доказывать параллельность, мы проводим через середину стороны
прямую, параллельную основанию, и показываем, что получится средняя линия.
Доказательство. Пусть K — середина стороны AB треугольника ABC. Проведём KL параллельно основанию AC (рис. 2). Имеем: ∠BKL = ∠BAC (как соответственные углы при
параллельных прямых KL и AC).
A
B
C
K L
M
Рис. 2. К теореме о средней линии
Проведём также LM k AB. Имеем: ∠MLC = ∠ABC (снова как соответственные углы).
Кроме того, четырёхугольник AKLM — параллелограмм по построению. По свойству параллелограмма LM = AK и, стало быть, LM = KB.
Таким образом, треугольники KBL и MLC равны по стороне и двум прилежащим к ней
углам. Следовательно, BL = LC (эти стороны являются соответствующими, так как лежат
напротив равных углов), и потому KL — средняя линия. Итак, средняя линия параллельна
основанию — первое утверждение теоремы доказано.
1
Из равенства треугольников KBL и MLC следует также, что KL = MC. Вместе с тем, по
свойству параллелограмма имеем KL = AM. Значит, M — середина AC, и KL = AC/2. Тем
самым доказано второе утверждение теоремы.
Теорема о средней линии, очень важная сама по себе, позволяет доказать также весьма
важную теорему о медианах треугольника.
Теорема о медианах. Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся этой
точкой в отношении 2 : 1 (считая от вершины треугольника).
Доказательство. Докажем прежде всего, что две медианы делятся точкой пересечения в
отношении 2 : 1, считая от вершины.
Пусть медианы AL и CK треугольника ABC пересекаются в точке O (рис. 3). Пусть также
M — середина CO и N — середина AO.
A
B
C
K L
MN
O
Рис. 3. К теореме о медианах
Отрезок KL есть средняя линия в треугольнике ABC; по теореме о средней линии имеем
KL k AC и KL = AC/2.
Отрезок NM есть средняя линия в треугольнике AOC, поэтому NM k AC и NM = AC/2.
Следовательно, KL k NM и KL = NM. Таким образом, в четырёхугольнике KLMN две
стороны равны и параллельны, и потому KLMN — параллелограмм. Поскольку диагонали
параллелограмма делятся точкой пересечения пополам, имеем KO = OM и LO = ON. Отсюда
следует, что AO = 2OL и CO = 2OK, то есть медианы AL и CK делятся точкой O в отношении
2 : 1, считая от вершин.
Нам остаётся доказать, что третья медиана BP также проходит через точку O. В самом
деле, предположим, что медианы BP и AL пересекаются в точке O1. Тогда, как мы только что
доказали, должно быть выполнено равенство AO1 : O1L = 2 : 1. Но ведь и AO : OL = 2 : 1;
следовательно, точка O1 совпадает с O. Теорема доказана.
Задачи
1. Докажите, что три средние линии разбивают треугольник на четыре равных треугольника.
2. Дан треугольник с периметром 6. Найдите периметр треугольника с вершинами в серединах
сторон данного треугольника.
3
2
3. Две стороны треугольника равны a и b. Через середину третьей стороны проведены прямые,
параллельные двум другим сторонам. Найдите периметр получившегося четырёхугольника.
b +a
4. Докажите, что середины сторон любого четырёхугольника являются вершинами параллелограмма.
5. В четырёхугольнике сумма длин диагоналей равна 5. Найдите периметр четырёхугольника
с вершинами в серединах сторон данного,
5
6. Диагональ прямоугольника равна 1. Найдите периметр четырёхугольника с вершинами в
серединах сторон прямоугольника.
2
7. Диагонали ромба равны 6 и 10. Найдите стороны и углы четырёхугольника с вершинами в
серединах сторон этого ромба.
◦ 90 3, 5, 3, 5; все углы равны
8. Докажите, что медиана прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого
угла, равна отрезку, соединяющему середины катетов.
9. Докажите, что отрезок, соединяющий середины сторон AB и AC треугольника ABC, и
медиана, проведённая из вершины A, делят друг друга пополам.
10. Угол A ромба ABCD равен 45◦
, проекция стороны AB на сторону AD равна 10. Найдите
расстояние от центра ромба до его стороны.
5
11. Расстояние между серединами перпендикулярных хорд AC и BC окружности равно 7.
Найдите расстояние от центра окружности до точки пересечения этих хорд.
Найдем площадь треугольника АВD по Герону: Sabd=√[p(p-a)(p-b)(p-c). р=(15+13+4)/2=16, а S=√(16*3*1*12=24. Тогда высота треугольника AN, опущенная из A на сторону BD равна: AN=2*S/BD = 48/4=12. Высота в подобных треугольниках ABD и AEF с коэффициентом k=1/2 (так как EF- средняя линия треугольника ABD) также делится пополам. Значит расстояние ОТ (перпендикуляр) между параллельными прямыми EF и BD равно 6. Тогда в прямоугольном треугольнике OTJ по Пифагору JT=√(OT²+JO²)=10. Это высота параллелограмма EGPF, а его площадь Segpf=2*10=20. EF=GP=2 (средние линии треугольников АВD и BSD соответственно). В подобных треугольниках ASC и HQC (HQ параллельна AS): HC=(3/4)*AC (так как АН=(1/2)*АО). HC/AC=HQ/AS=3/4. HQ=(3/4)*AS EG=(1/2)*AS (средняя линия треугольника АSB). НJ=EG=FP=(1/2)*AS. Тогда HJ/HQ=((1/2)*AS)/((3/4)*AS) = 2/3. Опустим из точки Q перпендикуляр QR на диагональ АС и проведем прямую RK параллельно ОТ. Из подобия НQR и HJO: HO/HR=HJ/HQ=2/3. Треугольники НRK и НОТ подобны и OT/RK=HO/HR=2/3. Отсюда RK= OT*HR/HO=6*3/2=9. Также из подобия треугольников HQK и HJT имеем: QK/JT=HR/HO=3/2. QK=HR*JT/HO= 3*10/2= 15. Тогда высота треугольника GQP равна h=QK-JT=15-10=5. Sgqp=(1/2)*GP*h=5. S сечения= Sпараллелограмма+Sтреугольника = 20+5=25 ед². ответ: площадь сечения равна 25 ед².
Средняя линия треугольника — это отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника.
Говоря о средней линии, третью сторону треугольника будем называть основанием.
Так, на рис. 1 показана средняя линия KL треугольника ABC. В этом случае мы называем
основанием сторону AC.
A
B
C
K L
Рис. 1. Средняя линия
Теорема о средней линии. Средняя линия треугольника: 1) параллельна основанию; 2) равна половине основания.
Доказывая теорему о средней линии, мы продемонстрируем один приём, который бывает
полезен в задачах. А именно, мы как бы заходим с другой стороны: вместо того, чтобы проводить среднюю линию и доказывать параллельность, мы проводим через середину стороны
прямую, параллельную основанию, и показываем, что получится средняя линия.
Доказательство. Пусть K — середина стороны AB треугольника ABC. Проведём KL параллельно основанию AC (рис. 2). Имеем: ∠BKL = ∠BAC (как соответственные углы при
параллельных прямых KL и AC).
A
B
C
K L
M
Рис. 2. К теореме о средней линии
Проведём также LM k AB. Имеем: ∠MLC = ∠ABC (снова как соответственные углы).
Кроме того, четырёхугольник AKLM — параллелограмм по построению. По свойству параллелограмма LM = AK и, стало быть, LM = KB.
Таким образом, треугольники KBL и MLC равны по стороне и двум прилежащим к ней
углам. Следовательно, BL = LC (эти стороны являются соответствующими, так как лежат
напротив равных углов), и потому KL — средняя линия. Итак, средняя линия параллельна
основанию — первое утверждение теоремы доказано.
1
Из равенства треугольников KBL и MLC следует также, что KL = MC. Вместе с тем, по
свойству параллелограмма имеем KL = AM. Значит, M — середина AC, и KL = AC/2. Тем
самым доказано второе утверждение теоремы.
Теорема о средней линии, очень важная сама по себе, позволяет доказать также весьма
важную теорему о медианах треугольника.
Теорема о медианах. Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся этой
точкой в отношении 2 : 1 (считая от вершины треугольника).
Доказательство. Докажем прежде всего, что две медианы делятся точкой пересечения в
отношении 2 : 1, считая от вершины.
Пусть медианы AL и CK треугольника ABC пересекаются в точке O (рис. 3). Пусть также
M — середина CO и N — середина AO.
A
B
C
K L
MN
O
Рис. 3. К теореме о медианах
Отрезок KL есть средняя линия в треугольнике ABC; по теореме о средней линии имеем
KL k AC и KL = AC/2.
Отрезок NM есть средняя линия в треугольнике AOC, поэтому NM k AC и NM = AC/2.
Следовательно, KL k NM и KL = NM. Таким образом, в четырёхугольнике KLMN две
стороны равны и параллельны, и потому KLMN — параллелограмм. Поскольку диагонали
параллелограмма делятся точкой пересечения пополам, имеем KO = OM и LO = ON. Отсюда
следует, что AO = 2OL и CO = 2OK, то есть медианы AL и CK делятся точкой O в отношении
2 : 1, считая от вершин.
Нам остаётся доказать, что третья медиана BP также проходит через точку O. В самом
деле, предположим, что медианы BP и AL пересекаются в точке O1. Тогда, как мы только что
доказали, должно быть выполнено равенство AO1 : O1L = 2 : 1. Но ведь и AO : OL = 2 : 1;
следовательно, точка O1 совпадает с O. Теорема доказана.
Задачи
1. Докажите, что три средние линии разбивают треугольник на четыре равных треугольника.
2. Дан треугольник с периметром 6. Найдите периметр треугольника с вершинами в серединах
сторон данного треугольника.
3
2
3. Две стороны треугольника равны a и b. Через середину третьей стороны проведены прямые,
параллельные двум другим сторонам. Найдите периметр получившегося четырёхугольника.
b +a
4. Докажите, что середины сторон любого четырёхугольника являются вершинами параллелограмма.
5. В четырёхугольнике сумма длин диагоналей равна 5. Найдите периметр четырёхугольника
с вершинами в серединах сторон данного,
5
6. Диагональ прямоугольника равна 1. Найдите периметр четырёхугольника с вершинами в
серединах сторон прямоугольника.
2
7. Диагонали ромба равны 6 и 10. Найдите стороны и углы четырёхугольника с вершинами в
серединах сторон этого ромба.
◦ 90 3, 5, 3, 5; все углы равны
8. Докажите, что медиана прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого
угла, равна отрезку, соединяющему середины катетов.
9. Докажите, что отрезок, соединяющий середины сторон AB и AC треугольника ABC, и
медиана, проведённая из вершины A, делят друг друга пополам.
10. Угол A ромба ABCD равен 45◦
, проекция стороны AB на сторону AD равна 10. Найдите
расстояние от центра ромба до его стороны.
5
11. Расстояние между серединами перпендикулярных хорд AC и BC окружности равно 7.
Найдите расстояние от центра окружности до точки пересечения этих хорд.
7
Объяснение:
Sabd=√[p(p-a)(p-b)(p-c). р=(15+13+4)/2=16, а S=√(16*3*1*12=24.
Тогда высота треугольника AN, опущенная из A на сторону BD равна:
AN=2*S/BD = 48/4=12.
Высота в подобных треугольниках ABD и AEF с коэффициентом k=1/2 (так как EF- средняя линия треугольника ABD) также делится пополам.
Значит расстояние ОТ (перпендикуляр) между параллельными прямыми EF и BD равно 6.
Тогда в прямоугольном треугольнике OTJ по Пифагору
JT=√(OT²+JO²)=10.
Это высота параллелограмма EGPF, а его площадь Segpf=2*10=20.
EF=GP=2 (средние линии треугольников АВD и BSD соответственно).
В подобных треугольниках ASC и HQC (HQ параллельна AS):
HC=(3/4)*AC (так как АН=(1/2)*АО).
HC/AC=HQ/AS=3/4.
HQ=(3/4)*AS
EG=(1/2)*AS (средняя линия треугольника АSB).
НJ=EG=FP=(1/2)*AS. Тогда
HJ/HQ=((1/2)*AS)/((3/4)*AS) = 2/3.
Опустим из точки Q перпендикуляр QR на диагональ АС и
проведем прямую RK параллельно ОТ.
Из подобия НQR и HJO: HO/HR=HJ/HQ=2/3.
Треугольники НRK и НОТ подобны и OT/RK=HO/HR=2/3.
Отсюда RK= OT*HR/HO=6*3/2=9.
Также из подобия треугольников HQK и HJT имеем: QK/JT=HR/HO=3/2.
QK=HR*JT/HO= 3*10/2= 15.
Тогда высота треугольника GQP равна h=QK-JT=15-10=5.
Sgqp=(1/2)*GP*h=5.
S сечения= Sпараллелограмма+Sтреугольника = 20+5=25 ед².
ответ: площадь сечения равна 25 ед².