Дизайнеру необходимо рассчитать, для какой из двух коробок потребуется меньше ленты: в форме параллелепипеда или в форме цилиндра (с учётом узла с бантиком)?

 Поскольку иное не указано, данный конус – прямой. У прямого конуса основание высоты совпадает с центром основания.

На рисунке приложения треугольник АВС–  осевое сечение конуса. ∆ АВС- равнобедренный (АВ=ВС как образующие ). АС - диаметр, О - центр основания, ВО - высота конуса.

  ВО⊥АС⇒ треугольник ВОС – прямоугольный, и отрезок ОН, проведенный перпендикулярно к гипотенузе ВС, является его высотой. Прямоугольный ∆ СОВ~∆ НОВ по общему углу при вершине В ⇒

∠ВСО=∠ВОН=α.

V(кон)=πR²•h/3

R=BC•cosα=n•cosα

h=BO=n•sinα

V=π•n²•cos²α•n•sinα/3=n³•cos²α•sinα/3

Возьмем треугольник abc, c-прямой угол
 Проведем биссектрису-ck, катеты ac/bc относятся друг к другу также как и поделенная гипотенуза 5:3, тогда и они относятся как 5/3
Высоту назовем AM
Тогда можно найти отрезки на которые поделит высота, проведенная из вершины прямого угла
Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное для гипотенузы и отрезка гипотенузы, заключенного между катетом и высотой
Тогда-AC=Корень из(AB*AM)
5=Корень из(8*AM)
Возведем обе стороны в квадрат
5^2=8*AM
25/8=AM

Теперь найдем BM
BC=корень из(AB*BM)
3=корень из(8*BM)
Возведем обе стороны в квадрат
3^2=8*BM
9=8*BM
BM=9/8

Отношение будет (25/8)/(9/8)
Сократим 25/8*8/9=200/72=100/36=25/9
ответ=25/9