Длины сторон четырехугольника ABCD выражен целыми числами. Какую наибольшую длину может иметь сторона AD, если AB = 3 cм, BC = 4 см, CD = 2 см? ​

1. ∠ABD = ∠AMK как соответственные при пересечении параллельных прямых BD и МК,

∠А - общий для треугольников ABD и AMK, значит

Δ ABD подобен ΔAMK по двум углам.

AB : AM = BD : MK

AB : 32 = 4 : 8

AB = 32 · 4 / 8 = 16 см

2. ∠ОАВ = ∠ОМК как накрест лежащие при пересечении параллельных прямых АВ и МК,

∠О - общий для треугольников АОВ и МОК, значит

ΔАОВ подобен ΔМОК по двум углам.

АB : MK = AO : MO

AB : 10 = 8 : 20

AB = 10 · 8 / 20 = 4

3. AD : AB = 6 : 15 = 2 : 5

AK : AC = 8 : 20 = 2 : 5

∠A - общий для треугольников ADK и АВС, значит

ΔADK подобен ΔABC по двум пропорциональным сторонам и углу между ними.

DK : BC = AD : AB = 2 : 5

DK : 30 = 2 : 5

DK = 30 · 2 / 5 = 12 см

4. Площади подобных треугольников относятся, как квадрат коэффициента подобия:

k² = S₁ : S₂ = 64/81

k = √(64/81) = 8/9

a₁ : a₂ = 8 : 9

Из условия задачи не ясно, какому из треугольников принадлежит сторона, равная 8. Рассмотрим два случая:

1) a₁ = 8

8 : a₂ = 8 : 9

a₂ = 8 · 9 / 8 = 9

2) a₂ = 8

a₁ : 8 = 8 : 9

a₁ = 8 · 8 / 9 = 64/9 = 7_1/9

Параллелограмм — четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.

Теоремы (свойства параллелограмма):

В параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны.

Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.

Углы, прилежащие к любой стороне, в сумме равны .

Диагонали параллелограмма делят его на два равных треугольника.

Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон: .

Признаки параллелограмма:

Если противоположные стороны четырехугольника попарно параллельны, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Если в четырехугольнике две противоположные стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Если в четырехугольнике диагонали, пересекаясь, точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Середины сторон произвольного (в том числе невыпуклого или пространственного) четырехугольника являются вершинами параллелограмма Вариньона.

Стороны этого параллелограмма параллельны соответствующим диагоналям четырехугольника . Периметр параллелограмма Вариньона равен сумме длин диагоналей исходного четырехугольника, а площадь параллелограмма Вариньона равна половине площади исходного четырехугольника.