Для начала давайте разберемся в определении коллинеарности векторов. Векторы называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или параллельны друг другу.
Итак, у нас даны три вектора a, b и c, и известны два равенства:
a · b = 0
и
a · c = 0
где "·" обозначает скалярное произведение векторов.
Для понимания, что такое скалярное произведение, давайте введем координатную форму записи векторов.
Представим векторы a, b и c в виде:
a = (a₁, a₂, a₃)
b = (b₁, b₂, b₃)
c = (c₁, c₂, c₃)
Тогда скалярное произведение векторов a и b будет равно:
a · b = a₁*b₁ + a₂*b₂ + a₃*b₃
1) Рассмотрим первое равенство a · b = 0.
Распишем его в координатной форме:
a₁*b₁ + a₂*b₂ + a₃*b₃ = 0
Если мы хотим найти условие коллинеарности векторов a и b, то мы можем предположить, что a и b коллинеарны и масштабировать векторы так, чтобы a₃ = b₃ = 0, чтобы избавиться от переменных z.
Тогда равенство примет вид:
a₁*b₁ + a₂*b₂ = 0
2) Рассмотрим второе равенство a · c = 0.
Распишем его в координатной форме:
a₁*c₁ + a₂*c₂ + a₃*c₃ = 0
Аналогично первому случаю, мы можем предположить, что a и c коллинеарны и масштабировать векторы так, чтобы a₂ = c₂ = 0, чтобы избавиться от переменных y.
Тогда равенство примет вид:
a₁*c₁ + a₃*c₃ = 0
Теперь мы имеем систему уравнений:
a₁*b₁ + a₂*b₂ = 0
a₁*c₁ + a₃*c₃ = 0
Решим эту систему методом подстановки:
Уравнение 1:
a₁*b₁ + a₂*b₂ = 0
Разрешаем относительно a₂:
a₂ = -a₁*b₁ / b₂
Подставляем это значение во второе уравнение:
a₁*c₁ + a₃*c₃ = 0
Заменяем a₂ на полученное значение и разрешаем относительно a₃:
a₁*c₁ + (-a₁*b₁ / b₂)*c₃ = 0
a₃ = -(a₁*c₁*b₂) / (a₁*b₁)
Это и есть ответ. Найденные значения a₂ и a₃ обеспечат условие коллинеарности векторов a и b с вектором c.
Таким образом, для заданной системы уравнений, чтобы векторы a, b и c были коллинеарными, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие условия:
Итак, у нас даны три вектора a, b и c, и известны два равенства:
a · b = 0
и
a · c = 0
где "·" обозначает скалярное произведение векторов.
Для понимания, что такое скалярное произведение, давайте введем координатную форму записи векторов.
Представим векторы a, b и c в виде:
a = (a₁, a₂, a₃)
b = (b₁, b₂, b₃)
c = (c₁, c₂, c₃)
Тогда скалярное произведение векторов a и b будет равно:
a · b = a₁*b₁ + a₂*b₂ + a₃*b₃
Исходя из этого, у нас имеются два равенства:
a₁*b₁ + a₂*b₂ + a₃*b₃ = 0
a₁*c₁ + a₂*c₂ + a₃*c₃ = 0
Теперь давайте приступим к решению задачи.
1) Рассмотрим первое равенство a · b = 0.
Распишем его в координатной форме:
a₁*b₁ + a₂*b₂ + a₃*b₃ = 0
Если мы хотим найти условие коллинеарности векторов a и b, то мы можем предположить, что a и b коллинеарны и масштабировать векторы так, чтобы a₃ = b₃ = 0, чтобы избавиться от переменных z.
Тогда равенство примет вид:
a₁*b₁ + a₂*b₂ = 0
2) Рассмотрим второе равенство a · c = 0.
Распишем его в координатной форме:
a₁*c₁ + a₂*c₂ + a₃*c₃ = 0
Аналогично первому случаю, мы можем предположить, что a и c коллинеарны и масштабировать векторы так, чтобы a₂ = c₂ = 0, чтобы избавиться от переменных y.
Тогда равенство примет вид:
a₁*c₁ + a₃*c₃ = 0
Теперь мы имеем систему уравнений:
a₁*b₁ + a₂*b₂ = 0
a₁*c₁ + a₃*c₃ = 0
Решим эту систему методом подстановки:
Уравнение 1:
a₁*b₁ + a₂*b₂ = 0
Разрешаем относительно a₂:
a₂ = -a₁*b₁ / b₂
Подставляем это значение во второе уравнение:
a₁*c₁ + a₃*c₃ = 0
Заменяем a₂ на полученное значение и разрешаем относительно a₃:
a₁*c₁ + (-a₁*b₁ / b₂)*c₃ = 0
a₃ = -(a₁*c₁*b₂) / (a₁*b₁)
Это и есть ответ. Найденные значения a₂ и a₃ обеспечат условие коллинеарности векторов a и b с вектором c.
Таким образом, для заданной системы уравнений, чтобы векторы a, b и c были коллинеарными, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие условия:
a₂ = -a₁*b₁ / b₂
a₃ = -(a₁*c₁*b₂) / (a₁*b₁)