AB = CD так как трапеция равнобедренная, ∠ВАD = ∠CDA как углы при основании равнобедренной трапеции, AD - общая сторона для треугольников BAD и CDA, ⇒ ΔBAD = ΔCDA по двум сторонам и углу между ними.
Значит ∠CAD = ∠BDA. Тогда ΔOAD равнобедренный, прямоугольный, и его высота (ОН) является и медианой, проведенной к гипотенузе, значит, равна ее половине: ОН = AD/2
ΔВОС подобен ΔDOA по двум углам, значит и ОК = ВС/2
КН = AD/2 + BC/2 = (AD + BC)/2 ⇒ высота равна средней линии.
Двугранные и многогранные углы входят в новые стандарты по математике как базового, так и профильного уровня обучения в старших классов. Однако задачам на вычисление этих углов обычно не уделяется должного внимание. В то же время решение таких задач выработке необходимых вычислительных навыков, повторяет различные планиметрические формулы и соотношения, развивает пространственные представления учащихся.
Здесь мы рассмотрим вопрос об измерении двугранных и многогранных углов. Предлагаемый материал и задачи могут быть использованы на профильном уровне при изучении темы «Правильные многогранники», при проведении элективных курсов, подготовке учащихся к решению олимпиадных задач и задач вступительных экзаменов по математике в вузы.
Начнем с двугранных углов. Двугранный угол является пространственным аналогом угла на плоскости. Напомним, что углом на плоскости называется фигура, образованная двумя лучами этой плоскости с общей вершиной и частью плоскости, ограниченной этими лучами. Будем считать аналогом точки на плоскости прямую в пространстве и аналогом луча на плоскости полуплоскость в пространстве. Тогда, по этой аналогии, двугранным углом в пространстве называют фигуру (рис. 1), образованную двумя полуплоскостями, с общей ограничивающей их прямой, и частью пространства, ограниченной этими полуплоскостями. Полуплоскости называются гранями двугранного угла, а их общая граничная прямая – ребром двугранного угла.
∠ВАD = ∠CDA как углы при основании равнобедренной трапеции,
AD - общая сторона для треугольников BAD и CDA, ⇒
ΔBAD = ΔCDA по двум сторонам и углу между ними.
Значит ∠CAD = ∠BDA.
Тогда ΔOAD равнобедренный, прямоугольный, и его высота (ОН) является и медианой, проведенной к гипотенузе, значит, равна ее половине:
ОН = AD/2
ΔВОС подобен ΔDOA по двум углам, значит и
ОК = ВС/2
КН = AD/2 + BC/2 = (AD + BC)/2 ⇒ высота равна средней линии.
Sabcd = (AD + BC)/2 · KH = KH · KH = 18² = 324 см²
И вообще, в равнобедренной трапеции с перпендикулярными диагоналями высота равна средней линии трапеции (или полусумме оснований).
Здесь мы рассмотрим вопрос об измерении двугранных и многогранных углов. Предлагаемый материал и задачи могут быть использованы на профильном уровне при изучении темы «Правильные многогранники», при проведении элективных курсов, подготовке учащихся к решению олимпиадных задач и задач вступительных экзаменов по математике в вузы.
Начнем с двугранных углов. Двугранный угол является пространственным аналогом угла на плоскости. Напомним, что углом на плоскости называется фигура, образованная двумя лучами этой плоскости с общей вершиной и частью плоскости, ограниченной этими лучами. Будем считать аналогом точки на плоскости прямую в пространстве и аналогом луча на плоскости полуплоскость в пространстве. Тогда, по этой аналогии, двугранным углом в пространстве называют фигуру (рис. 1), образованную двумя полуплоскостями, с общей ограничивающей их прямой, и частью пространства, ограниченной этими полуплоскостями. Полуплоскости называются гранями двугранного угла, а их общая граничная прямая – ребром двугранного угла.