Теорема 1. Первый признак равенства треугольников. Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны (рис.2).
Доказательство. Рассмотрим треугольники ABC и A1B1C1, у которых АВ = A1B1, АС = A1C1 ∠ А = ∠ А1 (см. рис.2). Докажем, что Δ ABC = Δ A1B1C1.
Так как ∠ А = ∠ А1, то треугольник ABC можно наложить на треугольник А1В1С1 так, что вершина А совместится с вершиной А1, а стороны АВ и АС наложатся соответственно на лучи А1В1 и A1C1. Поскольку АВ = A1B1, АС = А1С1, то сторона АВ совместится со стороной А1В1 а сторона АС — со стороной А1C1; в частности, совместятся точки В и В1, С и C1. Следовательно, совместятся стороны ВС и В1С1. Итак, треугольники ABC и А1В1С1 полностью совместятся, значит, они равны.
Теорема 2. Второй признак равенства треугольников. Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны (рис. 34).
Замечание. На основе теоремы 2 устанавливается теорема 3.
Теорема 3. Сумма любых двух внутренних углов треугольника меньше 180°.
Из последней теоремы вытекает теорема 4.
Теорема 4. Внешний угол треугольника больше любого внутреннего угла, не смежного с ним.
Теорема 5. Третий признак равенства треугольников. Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны
Мальчик-школьник теряется в тайге и выходит к заповедному озеру, полному рыбы. Найдя дорогу домой, он приводит к новому месту рыболовную бригаду своего отца, после чего озеро называют его именем.
Рыбакам из бригады Григория Афанасьевича Шадрина, Васюткиного отца, не везло. Вода в реке поднялась, и рыба ушла на глубину. Вскоре с юга подул тёплый ветер, но уловы оставались небольшими. Рыбаки отошли далеко в низовья Енисея и остановились в избушке, построенной когда-то учёной экспедицией. Там и остались ждать осеннюю путину.
Рыбаки отдыхали, чинили сети и снасть, ловили рыбу перемётами, а Васютка каждый день ходил за кедровыми орехами — очень уж любили рыбаки это лакомство. Иногда мальчик заглядывал в новые учебники, привезённые из города, готовился к школе. Вскоре шишек на ближайших кедрах не осталось, и Васютка решил отправиться в дальний поход за орешками. По старинному обычаю мать заставила мальчика взять с собой краюшку хлеба и спички, а без ружья Васютка никогда в тайгу не ходил.
Теорема 1. Первый признак равенства треугольников. Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны (рис.2).
Доказательство. Рассмотрим треугольники ABC и A1B1C1, у которых АВ = A1B1, АС = A1C1 ∠ А = ∠ А1 (см. рис.2). Докажем, что Δ ABC = Δ A1B1C1.
Так как ∠ А = ∠ А1, то треугольник ABC можно наложить на треугольник А1В1С1 так, что вершина А совместится с вершиной А1, а стороны АВ и АС наложатся соответственно на лучи А1В1 и A1C1. Поскольку АВ = A1B1, АС = А1С1, то сторона АВ совместится со стороной А1В1 а сторона АС — со стороной А1C1; в частности, совместятся точки В и В1, С и C1. Следовательно, совместятся стороны ВС и В1С1. Итак, треугольники ABC и А1В1С1 полностью совместятся, значит, они равны.
Теорема 2. Второй признак равенства треугольников. Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны (рис. 34).
Замечание. На основе теоремы 2 устанавливается теорема 3.
Теорема 3. Сумма любых двух внутренних углов треугольника меньше 180°.
Из последней теоремы вытекает теорема 4.
Теорема 4. Внешний угол треугольника больше любого внутреннего угла, не смежного с ним.
Теорема 5. Третий признак равенства треугольников. Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны
Объяснение:
Мальчик-школьник теряется в тайге и выходит к заповедному озеру, полному рыбы. Найдя дорогу домой, он приводит к новому месту рыболовную бригаду своего отца, после чего озеро называют его именем.
Рыбакам из бригады Григория Афанасьевича Шадрина, Васюткиного отца, не везло. Вода в реке поднялась, и рыба ушла на глубину. Вскоре с юга подул тёплый ветер, но уловы оставались небольшими. Рыбаки отошли далеко в низовья Енисея и остановились в избушке, построенной когда-то учёной экспедицией. Там и остались ждать осеннюю путину.
Рыбаки отдыхали, чинили сети и снасть, ловили рыбу перемётами, а Васютка каждый день ходил за кедровыми орехами — очень уж любили рыбаки это лакомство. Иногда мальчик заглядывал в новые учебники, привезённые из города, готовился к школе. Вскоре шишек на ближайших кедрах не осталось, и Васютка решил отправиться в дальний поход за орешками. По старинному обычаю мать заставила мальчика взять с собой краюшку хлеба и спички, а без ружья Васютка никогда в тайгу не ходил.