Доказать, что центр круга, нарисованного вокруг правильного треугольника, считая от вершины треугольника, делит высоту треугольника в соотношении 2: 1.

Середину отрезка с заданными координатами начала и конца находят как среднее арифметическое одноименных координат, то есть координаты точки М((3+1)/2;(-2+6)/2) или М(2;2).
Длина (модуль) CM=√[(Xm-Xc)²+(Ym-Yc)²] или
СМ=√[(2-5)²+(2+2)²]=√25=5.
Признак параллелограмма: "Если в четырехугольнике две противоположные стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник — параллелограмм".
Сторона (вектор) АВ{Xb-Xa;Yb-Ya} или AB{3-1;6+2}.
AB{2;8} модуль (длина) |AB|=√(2²+8²)=√68.
Сторона (вектор) СD{Xd-Xc;Yd-Yc} или CD{7-5;6+2}.
CD{2;8} модуль (длина) |CD|=√(2²+8²)=√68.
Итак, противоположные стороны параллелограмма AB и CD равны по модулю и параллельны (два вектора параллельны, если отношения их координат равны, а у нас их отношение равно 1).
Следовательно, АВСD - параллелограмм, что и требовалось доказать.

Проводишь высоту ВМ. Угол АВМ - 30 градусов.Поскольку у ромба противоположные стороны параллельны, то высота ВМ перпендикулярна и стороне ВС, значит Угол МВС = 90, тогда угол АВС = 90 - 30 = 60. Треугольник АВС равнобедренный, так как АВ = ВС как стороны ромба. Значит угол ВАС = ВСА. АС основание., но поскольку угол при вершине равен 60 градусов, то треуг. АВС равносторонний. Следовательно, АВ = АС = 6 см. 
Теперь Рассмотрим треуг. АМВ. Он прямоугольный, АВ гипотенуза. Известно, что в прямоугольном треуг-ке напротив угла в 30 градусов лежит катет вдвое меньше гипотенузы, т.е АМ = 3 см.