Доказать, что если квадраты стороны треугольника составляют арифметическую прогрессию , то треугольник, сторонами которого служат медианы данного, подобен данному треугольнику.
Пусть стороны треугольника a,с,b тогда по характеристическому свойству: a^2+b^2=2c^2 выразим так же: По формулам медиан: 4m1^2=2a^2+2b^2-c^2 4m2^2=2a^2+2c^2-b^2 4m3^2=2b^2+2c^2-a^2 1) 4m1^2=3c^2 m1/c=√3/2 2) поделим в нашем уравнении каждое слагаемое на a^2 1+b^2/a^2=2c^2/a^2 2c^2/a^2-b^2/a^2=1 и во 2 уравнении 4m2^2/a^2=2+2c^2/a^2-b^2/a^2=3 m2/a=√3/2 3) Поделим в нашем уравнении на b^2 a^2/b^2+1=2c^2/b^2 2c^2/b^2-a^2/b^2=1 И в 3 уравнении 4m3^2/b^2=2+2c^2/b^2-a^2/b^2=3 m3/b=√3/2 Откуда: m1/c=m2/a=m3/b=√3/2 А значит эти треугольники подобны по 3 пропорциональным сторонам. ЧТД
a^2+b^2=2c^2 выразим так же:
По формулам медиан:
4m1^2=2a^2+2b^2-c^2
4m2^2=2a^2+2c^2-b^2
4m3^2=2b^2+2c^2-a^2
1) 4m1^2=3c^2 m1/c=√3/2
2) поделим в нашем уравнении каждое слагаемое на a^2
1+b^2/a^2=2c^2/a^2 2c^2/a^2-b^2/a^2=1
и во 2 уравнении
4m2^2/a^2=2+2c^2/a^2-b^2/a^2=3
m2/a=√3/2
3) Поделим в нашем уравнении на b^2
a^2/b^2+1=2c^2/b^2 2c^2/b^2-a^2/b^2=1
И в 3 уравнении
4m3^2/b^2=2+2c^2/b^2-a^2/b^2=3
m3/b=√3/2
Откуда: m1/c=m2/a=m3/b=√3/2
А значит эти треугольники подобны по 3 пропорциональным сторонам.
ЧТД