Чтобы доказать, что плоскость ABC параллельна плоскости MNK, воспользуемся определением параллельных плоскостей. А именно, две плоскости считаются параллельными, если все пары их нормальных векторов параллельны.
Для начала, определим нормальные векторы для плоскостей ABC и MNK.
Для плоскости ABC возьмем два вектора, например AB и AC, и найдем их векторное произведение. По свойствам векторного произведения, вектор, полученный в результате, будет нормальным к плоскости ABC.
AB = B - A = (-3, 1, 2) - (1, 3, 2) = (-4, -2, 0)
AC = C - A = (5, -1, 2) - (1, 3, 2) = (4, -4, 0)
AB × AC = (-4, -2, 0) × (4, -4, 0) = (0, 0, 16)
Таким образом, нормальный вектор к плоскости ABC равен (0, 0, 16).
Проведем аналогичные вычисления для плоскости MNK.
MN = N - M = (5, -1, 2) - (3, -3, -2) = (2, 2, 4)
MK = K - M = (1, 3, 2) - (3, -3, -2) = (-2, 6, 4)
MN × MK = (2, 2, 4) × (-2, 6, 4) = (0, -16, 16)
Таким образом, нормальный вектор к плоскости MNK равен (0, -16, 16).
Теперь сравним нормальные векторы плоскостей ABC и MNK. Они имеют одинаковые координаты за исключением знака y-координаты. Это говорит о том, что они параллельны.
Таким образом, плоскость ABC параллельна плоскости MNK, при условии MO=OC, NO=OB, AO=OK, что и требовалось доказать.
Для начала, определим нормальные векторы для плоскостей ABC и MNK.
Для плоскости ABC возьмем два вектора, например AB и AC, и найдем их векторное произведение. По свойствам векторного произведения, вектор, полученный в результате, будет нормальным к плоскости ABC.
AB = B - A = (-3, 1, 2) - (1, 3, 2) = (-4, -2, 0)
AC = C - A = (5, -1, 2) - (1, 3, 2) = (4, -4, 0)
AB × AC = (-4, -2, 0) × (4, -4, 0) = (0, 0, 16)
Таким образом, нормальный вектор к плоскости ABC равен (0, 0, 16).
Проведем аналогичные вычисления для плоскости MNK.
MN = N - M = (5, -1, 2) - (3, -3, -2) = (2, 2, 4)
MK = K - M = (1, 3, 2) - (3, -3, -2) = (-2, 6, 4)
MN × MK = (2, 2, 4) × (-2, 6, 4) = (0, -16, 16)
Таким образом, нормальный вектор к плоскости MNK равен (0, -16, 16).
Теперь сравним нормальные векторы плоскостей ABC и MNK. Они имеют одинаковые координаты за исключением знака y-координаты. Это говорит о том, что они параллельны.
Таким образом, плоскость ABC параллельна плоскости MNK, при условии MO=OC, NO=OB, AO=OK, что и требовалось доказать.