Пирамида КАВСД, К-вершина, в основании квадратАВСД, АВ=ВС=СД=АД=а, О-центр пирамиды, пересечение диагоналей АС и ВД, АС=корень(АД в квадрате+СД в квадрате)=корень(а в квадрате+а в квадрате)=а*корень2, АО=СО=АС/2=а*корень2/2, проводим перпендикуляр ОН на СД, ОН=1/2АД=а/2, проводим КН, треугольник КОН прямоугольный, tg угла КОН=3*корень2, КО-высота пирамиды=ОН*tg угла КОН=(а/2)*3*корень2=3а*корень2/2, треугольник КОС прямоугольный, tg угла КСО=КО/СО=(3а*корень2/2) / (а*корень2/2,)=3 - тангенс угла между боковым ребром и основанием
Пусть диагонали прямоугольника ABCD пересекаются в точке O. Выберем произвольную точку M на перпендикуляре. Так как диагонали точкой пересечения делятся пополам, треугольники AOM, BOM, COM, DOM прямоугольные (OM перпендикулярно плоскости (ABC), а значит, и диагоналям), причём один катет у них общий, а второй катет - половина диагонали прямоугольника, то есть они равны по двум катетам. Гипотенузы этих треугольников - расстояния от вершин прямоугольника до точки M, из равенства треугольников следует равенство этих расстояний. Тогда точка M равноудалена от всех вершин прямоугольника, а в силу произвольности её выбора, любая точка перпендикуляра также равноудалена (включая точку O, то, что она равноудалена, следует из равенства OA=OB=OC=OD).
