Докажите что из двух проекций наклонных , проведенных из данной точки к данной прямой , больше та, наклонная которой больше(рис. 14.7) БЕЗ ТЕОРЕМЫ ПИФАГОРА
1. Найдем ВВ1 она является катетом прямоугольного треугольника АВ1В и лежит против угла В1АВ=30 следовательно будет равна половине гипотенузы АВ1. Примем ВВ1 за х. Тогда по теореме Пифагора:
(2х) в квадрате=х в квадрате+4 в квадрате
3х в квадрате=16
х в квадрате=16/3
х=4/ корень из 3
2. S АА1В1В=S ДД1C1C=4*4/корень из 3=16/корень из 3
3. S АА1Д1Д=S ВВ1C1C=6*4/корень из 3=24/корень из 3
3. Проведем высоту ВН параллелограмма в основании из вершины В к стороне АД. Треугольник АВН-прямоугольный: угол ВАН=60 (он же ВАД), тогда угол АВН=30, а катет АН=0,5 АВ=0,5*4=2 (т.к лежит против угла в 30 градусов). По теореме Пифагора найдем высоту АН=АВ в квадрате-АН в квадрате все под корнем=4 в квадрате-2 в квадрате все под корнем=2 корня из 3
4. S АВСД=S А1В1С1Д1=6*2 корня из 3=12 корней из 3
5. Площадь полной поверхности прямоугольного параллелепипеда равна удвоенной сумме площадей трех граней этого параллелепипеда. S=2(16/ корень из 3+24/корень из 3+12 корней из 3)=80/корень из 3+12 корней из 3.
Сначала скачай 2 картинки, которые я прикрепил, чтобы по ним было понятно.
Доказательство: Пусть медианы MB и РА треугольника MNP пересекаются в точке О.
Найдем середины С и D отрезков ОР и ОМ и рассмотрим четырехугольник ABCD. Его стороны АВ и DC параллельны и равны как средние линии треугольников MNP и МОР с общей стороной MP. Поэтому четырехугольник ABCD — параллелограмм.
Поскольку диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам, то OD = ОВ. Учитывая, что D — середина отрезка ОМ, получаем MD = OD = ОВ. Значит, МО:ОВ = 2:1. Также РО:ОА = 2:1.
Остается доказать, что третья медиана NE проходит через точку О. Пусть медианы NE и MB пересекаются в точке О1. Тогда по доказанному М01: О1В = 2:1. Учитывая, что и МО:ОВ=2:1, заключаем, что точки 01 и О делят отрезок MB в одном и том же отношении. А это значит, что точка 01 совпадает с точкой О. Значит, медиана NE проходит через точку О пересечения медиан MB и РА.
Призма АВСДА1В1С1Д1. АД=А1Д1=ВС=В1С1=6, АВ=А1В1=ДС=Д1С1=4. Угол ВАД=60, Угол В1АВ=30.
1. Найдем ВВ1 она является катетом прямоугольного треугольника АВ1В и лежит против угла В1АВ=30 следовательно будет равна половине гипотенузы АВ1. Примем ВВ1 за х. Тогда по теореме Пифагора:
(2х) в квадрате=х в квадрате+4 в квадрате
3х в квадрате=16
х в квадрате=16/3
х=4/ корень из 3
2. S АА1В1В=S ДД1C1C=4*4/корень из 3=16/корень из 3
3. S АА1Д1Д=S ВВ1C1C=6*4/корень из 3=24/корень из 3
3. Проведем высоту ВН параллелограмма в основании из вершины В к стороне АД. Треугольник АВН-прямоугольный: угол ВАН=60 (он же ВАД), тогда угол АВН=30, а катет АН=0,5 АВ=0,5*4=2 (т.к лежит против угла в 30 градусов). По теореме Пифагора найдем высоту АН=АВ в квадрате-АН в квадрате все под корнем=4 в квадрате-2 в квадрате все под корнем=2 корня из 3
4. S АВСД=S А1В1С1Д1=6*2 корня из 3=12 корней из 3
5. Площадь полной поверхности прямоугольного параллелепипеда равна удвоенной сумме площадей трех граней этого параллелепипеда. S=2(16/ корень из 3+24/корень из 3+12 корней из 3)=80/корень из 3+12 корней из 3.
Доказательство: Пусть медианы MB и РА треугольника MNP пересекаются в точке О.
Найдем середины С и D отрезков ОР и ОМ и рассмотрим четырехугольник ABCD. Его стороны АВ и DC параллельны и равны как средние линии треугольников MNP и МОР с общей стороной MP. Поэтому четырехугольник ABCD — параллелограмм.
Поскольку диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам, то OD = ОВ. Учитывая, что D — середина отрезка ОМ, получаем MD = OD = ОВ. Значит, МО:ОВ = 2:1. Также РО:ОА = 2:1.
Остается доказать, что третья медиана NE проходит через точку О. Пусть медианы NE и MB пересекаются в точке О1. Тогда по доказанному М01: О1В = 2:1. Учитывая, что и МО:ОВ=2:1, заключаем, что точки 01 и О делят отрезок MB в одном и том же отношении.
А это значит, что точка 01 совпадает с точкой О.
Значит, медиана NE проходит через точку О пересечения медиан MB и РА.