В
Все
М
Математика
О
ОБЖ
У
Українська мова
Д
Другие предметы
Х
Химия
М
Музыка
Н
Немецкий язык
Б
Беларуская мова
Э
Экономика
Ф
Физика
Б
Биология
О
Окружающий мир
Р
Русский язык
У
Українська література
Ф
Французский язык
П
Психология
А
Алгебра
О
Обществознание
М
МХК
В
Видео-ответы
Г
География
П
Право
Г
Геометрия
А
Английский язык
И
Информатика
Қ
Қазақ тiлi
Л
Литература
И
История
anastasiaselina
anastasiaselina
23.03.2023 09:32 •  Геометрия

Докажите, что любую выпуклую фигуру можно заключить внутри центрально-симметричной выпуклой фигуры, площадь которой не более удвоенной площади фигуры.

Показать ответ
Ответ:
kostromitind
kostromitind
24.07.2020 22:01
Под фигурой будем понимать замкнутое множество на плоскости. Фигура F называется выпуклой, если отрезок, соединяющий любые две точки F, целиком лежит в F. 

Пусть AB -  диаметр F, т.е. AB - отрезок максимальной длины целиком содержащийся в F. Проведем через его концы перпендикулярные ему прямые. Тогда фигура F целиком лежит между ними (иначе AB не был бы диаметром F). Также проведем две прямые параллельные отрезку AB, так, чтобы F целиком лежала между ними, и будем сближать эти прямые до тех пор, пока они не коснутся F в точках C и D по разные стороны от  AB (или, в крайнем случае, одной из них лежащей на AB). В результате мы получим, что фигура F заключена в прямоугольник, со сторонами а и b  (AB=a) который, очевидно, является выпуклой центральнно-симметричной фигурой. В силу выпуклости F четырехугольник ACBD целиком лежит в F. Его площадь равна AB*h₁/2+AB*h₂/2=AB*(h₁+h₂)/2=ab/2, здесь h₁ и h₂ - расстояния от C и D до AB. Таким образом, S(F)≥S(ACBD)=ab/2, т.е. площадь прямоугольника, в котором содержится F, не превосходит удвоенной площади F.

P.S. Здесь мы неявно пользовались некоторыми фактами:
1) Выпуклая фигура, имеющая площадь - ограниченное множество. Действительно, если фигура имела точки не лежащие на одной прямой и была неограниченным множеством, то она содержала бы треугольник сколь угодно большой площади, т.е. не имела бы конечной площади.
2) В силу п.1) мы всегда можем поместить нашу фигуру между параллельными прямыми и по этой же причине (а также в силу замкнутости F и непрерывности длины) в нашей фигуре существует диаметр - отрезок максимальной длины.
0,0(0 оценок)
Популярные вопросы: Геометрия
Полный доступ
Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota Оформи подписку
logo
Начни делиться знаниями
Вход Регистрация
Что ты хочешь узнать?
Спроси ai-бота