докажите что прямоугольник АВСД и параллелограмм ЕВСК,изображенные на рисунке,равновеликие и равносоставленные​

1. a) КО - перпендикуляр к плоскости АВСД.

КМ - наклонная, перпендикуляр ОМ - проекция наклонной. Теорема о 3-х перпендикулярах: Если прямая, проведенная на плоскости через основание наклонной, перпендикулярна ее проекции, то она перпендикулярна наклонной. ⇒

АВ⊥КМ и ∠КМВ=90°

б) ВМ перпендикулярна двум пересекающимся прямым КМ и ОМ на плоскости КМО ⇒ ВМ перпендикулярна плоскости КМО, и длина отрезка ВМ - расстояние от т.В до плоскости ОКМ. 

∆ ВКМ прямоугольный. ВМ=КМ•tg30°=√3•(1/√3)=1

—————————

2. В ∆ АВС АС=ВС=10 см. ⇒∆ АВС - равнобедренный. 

Угол А при основании равнобедренного ∆ АСВ  равен углу В=30°. ⇒ 

угол С=180}-2•30°=120°

а) Расстояние от D до прямой АС - длина перпендикуляра DН, проведенного из D к прямой АС. 

DH⊥АС. Если прямая на плоскости перпендикулярна наклонной, то она перпендикулярна и проекции наклонной. ⇒ 

∆ ВНС -прямоугольный. 

Угол ВСН=180°-угол ВСА=180°-120°=60°(смежный углу С)

ВН=ВС•sin60°=10•√3/2=5√3

Т,к. BD перпендикулярна плоскости АВС, она перпендикулярна любой прямой, лежащей в той же плоскости. ∆ DBH- прямоугольный. 

По т. Пифагора 

DH=(√BD*+BH*)=√(25+75)=10 см. 

Плоскости DBH и DHC  перпендикулярны. (Если одна из двух плоскостей проходит через прямую (BD), перпендикулярную другой плоскости (ABH), то такие плоскости перпендикулярны.)

  Расстояние от точки до плоскости - это длина перпендикуляра, опущенного из заданной точки к заданной плоскости. 

Искомое расстояние -  расстояние от вершины прямого угла В до гипотенузы  ∆ ВDH, т.е. равно высоте, проведенной к гипотенузе. 

S (BDH)=0,5•BD•BH

S (BDH)=0,5•BK•DH⇒

 BD•BH=BK•DH 

5•5√3=BK•10⇒

BK=2,5√3 см. 

Пусть сторона АВ перпендикулярна к прямой 2x–y–1=0.

Это уравнение можно выразить с угловым коэффициентом:

y = 2x – 1.,Тогда угловой коэффициент к(АВ) = -1/2.

Уравнение АВ: у = (-1/2)х + в. Для определения в подставим координаты точки А: -3 = (-1/2)*5 + в, тогда в = -3 + (5/2) = -1/2.

Уравнение АВ: у = (-1/2)х - (1/2).

Сторона АС перпендикулярна к прямой 13x+4y–7=0.

Это уравнение можно выразить с угловым коэффициентом:

y = (-13/4)x + (7/4).Тогда угловой коэффициент к(АС) = 4/13.

Уравнение АС: у = (4/13)х + в. Для определения в подставим координаты точки А: -3 = (4/13)*5 + в, тогда в = -3 - (20/13) = -59/13.

Уравнение АС: у = (4/13)х - (59/13).

Точка С - это пересечение прямых АС и 2x–y–1=0. Приравняем:

(4/13)х - (59/13) = 2x – 1.

Координаты точки С: х = (-23/11),  у = (-57/11).

Координаты точки пересечения высот    

y=ax+b высот Точка D(пер_высот)  

            a            b      x             y

h(AC) -3,25 1,75  0,52381 0,04762

h(AB)    2          -1.

Координаты точки В находим как пересечение:

y=ax+b стор и выс  Точка В  

           a          b     x             y

АВ      -0,5          -0,5  0,81818 -0,90909

h(AС) -3,25 1,75.

Координаты точки В: х = 0,81818,  у = -0,90909.