Докажите или опровергните следующие утверждения ​

В кубе ABCDA1B1C1D1 найдите угол между векторами:

a)AB и AD    , б)BB1 и CC1    , в)AC1 и A1D1

Объяснение:

Углы между векторами  а)∠АВ,АD=90°, т.к все грани куба являются квадратами.

б) ∠ВВ₁,СС₁=0°, т.к эти  вектора лежат на параллельных прямых.

в) ∠АС₁,А₁D₁=arcctg√2.

Т.к. вектор А₁D₁=AD , то найдем угол ∠АС₁,АD

Из ΔВСС₁ -прямоугольный. Пусть ребро куба а, тогда по т. Пифагора

ВС₁=а√2.

По т. о трех перпендикулярах если проекция ВС перпендикулярна , прямой лежащей в плоскости АВ, то и наклонная С₁В  перпендикулярна прямой лежащей в плоскости АВ⇒ ΔАВС₁-прямоугольный .

tg∠С₁FD=BС₁/AB  или tg∠С₁FD=а√2/а , tg∠С₁FD=√2 , ∠С₁FD=arctg√2,

а значит у угол между векторами ∠АС₁,А₁D₁=arcctg√2.

ABCD - трапеция 
BK и CN - высоты из В и С на AD. 
AD = 18 cм. 
AB = CD 
L A = L D = 60 град. 
Пусть AK = ND = x 
AB = AK / cos 60 = 2AK = 2x 
CD = ND / cos 60 = 2ND = 2x 
KN = BC 
AD = AK + KN + ND = 2x + KN = 2x + BC = 18 
AD + BC = AB + CD 
(2x + BC) + BC = 2x + 2x 
2BC = 2x 
{BC = x = 
{2x + BC = 18 
2x + x = 18 
3x = 18 
x = 6 отсюда следует 
AB = 2x = 2*6 = 12 см 
AK = x = 6 => 
BK^2 = AB^2 - AK^2 = 12^2 - 6^2 = 108 = (10,4)^2 
BK = 10,4 см - высота трапеции, она де диаметр вписанной окружности. 
S = пD2 /4 = 3,14 * 10,4^2 / 4 = 84,78 см2