1. Даны два равных треугольника ABC и KLM (AB=KL; BC=LM; AC=KM; уг. A=K; уг. B=L; уг C=M) (рис.1) Проведем биссектрисы BH1 и LH2, к равным сторонам AC и KM соответственно. Рассмотрим треугольники ABH1 и KLH2. Стороны AB и KL равны по условию, углы A и K - также равны по условию. Т.к. BH1 - биссектриса, она делит угол B на два равных угла, ABH1=CBH1=B/2. Аналогично, LH2 делит угол L на углы KLH2=MLH2=L/2. Т.к. уг. L=B по условию, L/2=B/2, след-но, углы ABH1=KLH2. уг. A=K AB=KL ABH1=KLH2 Следовательно, треугольники ABH1 и KLH2 равны по стороне и двум прилежащим к ней углам (равные эл-ты выделены цветами на рис.1), след-но, все их элементы равны, в том числе, BH1=LH2. След-но, биссектрисы BH1 и LH2, проведенные в равных треугольниках, к равным сторонам, равны между собой.
2. Даны два равных треугольника ABC и KLM (AB=KL; BC=LM; AC=KM; уг. A=K; уг. B=L; уг C=M) (рис.2) Проведем медианы BF1 и LF2, к равным сторонам AC и KM соответственно. Рассмотрим треугольники ABF1 и KLF2. Стороны AB и KL равны по условию, углы A и K - также равны по условию. Т.к. BF1 - медиана, она делит сторону AC на два равных отрезка, AF1=F1C=AC/2. Аналогично, LF2 делит сторону KM на отрезки KF2=F2M=KM/2. Т.к. уг. AC=KM по условию, AC/2=KM/2, след-но, углы AF1=KF2. уг. A=K AB=KL AF1=KF2 Следовательно, треугольники ABF1 и KLF2 равны по двум сторонам и углу между ними (равные эл-ты выделены цветом на рис.2), след-но, все их элементы равны, в том числе, BF1=LF2. След-но, медианы BF1 и LF2, проведенные в равных треугольниках, к равным сторонам, равны между собой.
В равнобедренном треугольнике медианы, проведенные к боковым сторонам, равны. Доказательство: Пусть АБВ - равнобедренный треугольник , АК и БЛ - его медианы. Тогда треугольники АКБ и АЛБ равны по второму признаку равенства треугольников. У них сторона АБ общая, стороны АЛ и БК равны как половины боковых сторон равнобедренного треугольника, а углы ЛАБ и КБА равны как углы при основании равнобедренного треугольника. Так как треугольники равны, их стороны АК и ЛБ равны. Но АК и ЛБ - медианы равнобедренного треугольника, проведённые к его боковым сторонам.
Проведем биссектрисы BH1 и LH2, к равным сторонам AC и KM соответственно.
Рассмотрим треугольники ABH1 и KLH2.
Стороны AB и KL равны по условию, углы A и K - также равны по условию.
Т.к. BH1 - биссектриса, она делит угол B на два равных угла, ABH1=CBH1=B/2.
Аналогично, LH2 делит угол L на углы KLH2=MLH2=L/2.
Т.к. уг. L=B по условию, L/2=B/2, след-но, углы ABH1=KLH2.
уг. A=K
AB=KL
ABH1=KLH2
Следовательно, треугольники ABH1 и KLH2 равны по стороне и двум прилежащим к ней углам (равные эл-ты выделены цветами на рис.1), след-но, все их элементы равны, в том числе, BH1=LH2.
След-но, биссектрисы BH1 и LH2, проведенные в равных треугольниках, к равным сторонам, равны между собой.
2.
Даны два равных треугольника ABC и KLM (AB=KL; BC=LM; AC=KM; уг. A=K; уг. B=L; уг C=M) (рис.2)
Проведем медианы BF1 и LF2, к равным сторонам AC и KM соответственно.
Рассмотрим треугольники ABF1 и KLF2.
Стороны AB и KL равны по условию, углы A и K - также равны по условию.
Т.к. BF1 - медиана, она делит сторону AC на два равных отрезка, AF1=F1C=AC/2.
Аналогично, LF2 делит сторону KM на отрезки KF2=F2M=KM/2.
Т.к. уг. AC=KM по условию, AC/2=KM/2, след-но, углы AF1=KF2.
уг. A=K
AB=KL
AF1=KF2
Следовательно, треугольники ABF1 и KLF2 равны по двум сторонам и углу между ними (равные эл-ты выделены цветом на рис.2), след-но, все их элементы равны, в том числе, BF1=LF2.
След-но, медианы BF1 и LF2, проведенные в равных треугольниках, к равным сторонам, равны между собой.
Доказательство: Пусть АБВ - равнобедренный треугольник , АК и БЛ - его медианы. Тогда треугольники АКБ и АЛБ равны по второму признаку равенства треугольников. У них сторона АБ общая, стороны АЛ и БК равны как половины боковых сторон равнобедренного треугольника, а углы ЛАБ и КБА равны как углы при основании равнобедренного треугольника. Так как треугольники равны, их стороны АК и ЛБ равны. Но АК и ЛБ - медианы равнобедренного треугольника, проведённые к его боковым сторонам.