Доведіть подібність трикутників

1. пусть апофема l и угол между апофемой и плоскостью основания в 30°
тогда проекция апофемы на плоскость основания, она же равна радиусу вписанной в основание окружности,
r = l*cos(30°) = l√3/2
Радиус вписанной окружности равностороннего треугольника (см рисунок) относится к половине основания пирамиды как tg(30)
r/(a/2) = tg(30°) = 1/√3
2r√3=a
2*l√3/2*√3=a
3l = a
l = 1/3a
Апофема равна одной трети основания
Площадь боковой поверхности
S = 3*1/2*l*a = 1/2 a^2 = 50 см^2
1/2 a^2 = 50
a^2 = 100
a = 10 см
2
длина малой диагонали основания по теореме косинусов
l^2 = 1^2+(2√2)^2-2*1*2√2*cos(45) = 5
l = √5
Если наименьшее диагональное сечение опирается на эту диагональ то высота параллелепипеда
l*h = √15
h = √3
Объём параллелепипеда
V=1*2√2*sin(45)*h = 2√3

1. Найдем уравнения плоскостей АВС и АВD.
Для составления уравнения плоскости используем формулу:

|x - xA xB - xA  xC - xA|
|y - yA yB - yA  yC - yA| = 0.
|z - zA zB - zA  zC - zA|

Подставим данные трех наших точек плоскости АВС:
|x-8 2-8 2-8|                 |x-8 -6 -6|
|y-9 1-9 3-9| = 0.  Или |y-9 -8 -6| = 0.
|z-6 7-6 8-6|                 |z-6  1  2|
Раскрываем определитель по первому столбцу, находим уравнение плоскости:
         |-8 -6|            |-6 -6|            |-6 -6|
(х-8)*| 1  2| - (y-9)* | 1  2| +(z-6)*|-8 -6| =0.  Отсюда

(х-8)(-16+6)-(y-9)(-12+6)+(z-6)(36-48)=0.  Или
-10x+6y-12z+46=0.
 5x-3y+6z-23=0  - общее уравнение плоскости АВС с коэффициентами
А=5, В=-3, С=6, D=-23.

Подставим данные трех наших точек плоскости АВD:
|x-8 2-8 7-8|                 |x-8 -6 -1|
|y-9 1-9 6-9| = 0.  Или |y-9 -8 -3| = 0.
|z-6 7-6 1-6|                 |z-6  1 -5|
Раскрываем определитель по первому столбцу, находим уравнение плоскости ABD :
         |-8 -3|            |-6 -1|           |-6 -1|
(х-8)*| 1 -5| - (y-9)*| 1 -5| +(z-6)*|-8 -3| =0.

(х-8)(40+3)-(y-9)(30+1)+(z-6)(18-8)=0.
43x-31y+10z-125=0  - общее уравнение плоскости АВD с коэффициентами
А=43, В=-31, С=10, D=-125.
Угол между плоскостями определяем по формуле:
Cosα=|A1*A2+B1B2+C1C2|/(√(A1²+B1²+C1²)*√(A2²+B2²+C2²)  или
Cosα=|215+93+60|/(√(25+9+36)*√(43²+31²+10²)= 368/451=0,816.
Угол равен ≈35,3°.

2.  Уравнение прямой АВ по двум точкам:
(x-1)/(4-1)=(y-6)/(5-6) или
-x+1=3y-18 или y= (-1/3)*x+19/3
y= (-1/3)*x+19/3 (уравнение прямой с угловым коэффициентом).
Угловой коэффициент k1=-1/3 (условие перпендикулярности прямых: k2=-(1/k1).
Точка С(2;-2).
Уравнение прямой, перпендикулярной прямой АВ, проходящей через точку С : Y-Yc=3*(X-Xc). Подставляем наши значения: 
Y+2=3*(X-2) или 3Х-Y-8=0. - уравнение прямой Р.
Координаты точки пересечения прямых АВ и Р найдем, решив систему уравнений этих прямых:
АВ: х+3y=19 и
P:  3x-y=8.  Отсюда
х=4,3
y=4,9  
ответ: К(4,3;4,9).