Стороны вписанного треугольника — перпеникулярны сторонам исходного треугольника ABC, то есть:
То есть, образуются прямоугольные треугольники:
И так как углы исходного треугольника равны 60°, то:
Теорема о 30-градусном угле прямоугольного треугольника такова: катет, противолежащий углу 30-градусов — равен половине гипотенузы.
То есть:
Также, эти прямоугольные треугольники друг другу равны, по двум углам (60°; 30°), и по одному катету: OP ≡ NO ≡ NP, так как вписанный треугольник — равносторонний.
И так как:
Вывод: Вершины вписанного треугольника делят сторону исходного треугольника в отношении: 2:1.
Так как ΔABC — равносторонний, то:
Это очень важно учитывать!
Стороны вписанного треугольника — перпеникулярны сторонам исходного треугольника ABC, то есть:
То есть, образуются прямоугольные треугольники:
И так как углы исходного треугольника равны 60°, то:
Теорема о 30-градусном угле прямоугольного треугольника такова: катет, противолежащий углу 30-градусов — равен половине гипотенузы.
То есть:
Также, эти прямоугольные треугольники друг другу равны, по двум углам (60°; 30°), и по одному катету: OP ≡ NO ≡ NP, так как вписанный треугольник — равносторонний.
И так как:
Вывод: Вершины вписанного треугольника делят сторону исходного треугольника в отношении: 2:1.
Задача 1) Из треуг ВДС:
Гипотенуза BC = корень из (18*18+24*24) = корень из 900=30 см
Тогда:
cos C =18/30=3/5, тогда
sin А =3/5, тогда
cos^2 A =1 - (3/5)^2=1-(9/25)=(16/25)
cos A=(4/5)=0.8
АB=BD/sinA=24*5/3=120/3=40 см
Задача 2)
Треугольник АСD- прямоугольный
sin A= sin 37= CD/AC
AD=cos 37 * AC =3 cos 37
C= CD*AD=3 sin 37*3 cos 37 =9
Sin 37 *cos 37 =4,32 cм^2
Задача 3) Треугольники ABC и AMN подобны по 2-у признаку (стороны пропорциональны по условию, в угол А общий). По теореме S1/S2= k^2
k=AM/AB=2/(2+3)=2/5 S1/75=4/25
Отсюда S1=75*4^25=12