Для того чтобы доказать, что точки A(1;2), B(5;6), C(9;2) и D(5;-2) являются вершинами квадрата, необходимо выполнить несколько шагов:
1. Найдите расстояние между каждой парой точек и убедитесь, что все расстояния равны.
Расстояние между двумя точками (x1;y1) и (x2;y2) в декартовой системе координат можно вычислить по формуле:
1. Найдите расстояние между каждой парой точек и убедитесь, что все расстояния равны.
Расстояние между двумя точками (x1;y1) и (x2;y2) в декартовой системе координат можно вычислить по формуле:
d = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)
Для точек A(1;2) и B(5;6):
d(AB) = √((5 - 1)^2 + (6 - 2)^2) = √((4)^2 + (4)^2) = √(16 + 16) = √32
Для точек B(5;6) и C(9;2):
d(BC) = √((9 - 5)^2 + (2 - 6)^2) = √((4)^2 + (-4)^2) = √(16 + 16) = √32
Для точек C(9;2) и D(5;-2):
d(CD) = √((5 - 9)^2 + (-2 - 2)^2) = √((-4)^2 + (-4)^2) = √(16 + 16) = √32
Для точек D(5;-2) и A(1;2):
d(DA) = √((1 - 5)^2 + (2 - (-2))^2) = √((-4)^2 + (4)^2) = √(16 + 16) = √32
Таким образом, все расстояния между парами точек равны √32.
2. Убедитесь, что каждая сторона образует прямой угол с соседними сторонами.
Проверим это, вычислив углы между каждой парой соседних сторон.
Для сторон AB и BC:
tg(α) = (y2 - y1) / (x2 - x1) = (6 - 2) / (5 - 1) = 4 / 4 = 1
α = arctg(1) = 45°
Для сторон BC и CD:
tg(β) = (y2 - y1) / (x2 - x1) = (2 - (-2)) / (9 - 5) = 4 / 4 = 1
β = arctg(1) = 45°
Для сторон CD и DA:
tg(γ) = (y2 - y1) / (x2 - x1) = (-2 - 2) / (5 - 9) = -4 / (-4) = 1
γ = arctg(1) = 45°
Для сторон DA и AB:
tg(δ) = (y2 - y1) / (x2 - x1) = (2 - (-2)) / (1 - 5) = 4 / (-4) = -1
δ = arctg(-1) = -45°
Все углы между соседними сторонами равны 45° или -45°, что является признаком прямого угла.
3. Убедитесь, что диагонали квадрата имеют одинаковую длину и перпендикулярны друг другу.
Вычислим длину и угол между диагоналями.
Для диагоналей AC и BD:
d(AC) = √((9 - 1)^2 + (2 - 2)^2) = √((8)^2 + (0)^2) = √64 = 8
d(BD) = √((5 - 5)^2 + (6 - (-2))^2) = √((0)^2 + (8)^2) = √64 = 8
Диагонали имеют одинаковую длину - 8.
tg(ϑ) = (y2 - y1) / (x2 - x1) = (2 - (-2)) / (9 - 1) = 4 / 8 = 0.5
ϑ = arctg(0.5) ≈ 26.57°
tg(ψ) = (y2 - y1) / (x2 - x1) = (6 - 2) / (5 - 5) = 4 / 0 = бесконечность
ψ = arctg(бесконечности) ≈ 90°
Угол между диагоналями равен 90°, что означает, что они перпендикулярны.
Таким образом, мы убедились, что точки A(1;2), B(5;6), C(9;2) и D(5;-2) являются вершинами квадрата.