Довжини основ трапеції відносяться як 5:9. Як відносяться площі частин, на які середня лінія ділить трапецію.​

Пусть АВСД - данная трапеция, ВС||АД, ВС=9 см, АД=21 см, ВК=8 см - высота.

Решение

1. Радиус описанного круга равен радиусу круга, описанного около ΔАВД.

2. Рассмотрим ΔАКВ - прямоугольный.

АК=(АД-ВС):2 = 6 см.

АВ²=АК² + ВК² - (по теореме Пифагора)

АВ²=36+64=100

АВ=10 см.

3. Рассмотрим ΔВКД - прямоугольный.

КД=АД-АК=21-6=15 (см)

ВД²=ВК² + КД² - (по теореме Пифагора)

ВД²=64+225=289

ВД=17 см.

4. Рассмотрим ΔАВД.

SΔ = ½ ah

SΔ = ½ · 21 · 8 = 84 (см²)

5. R=abc/4S

R=(21·10·17)/(4·84) = 3570/336 = 10,625 (см)

ответ. 10,625 см. 

Проведем дополнительно высоту СК. Так как трапеция рвнобедренная, очевидно, что отрезок DK = (а-х)/2, где х - искомое основание ВС.

Из тр-ка СКD: CD = DK/cosD = (a-x)/(2cosD).

С другой стороны из пр.тр-ка ACD:  CD = a*cosD.

Приравняв, получим: cos^2 (D) = (a-x)/2a                          (1)

Но по условию:

AB^2 + x^2 = (11/16)a^2, а АВ^2 = CD^2 = a^2 *cos^2(D) = a(a-x)/2

Подставив получим уравнение:

a(a-x)/2  +  x^2 = (11/16)a^2                                            (2)

Домножим на 16 и приведем к квадратному уравнению:

16x^2  - 8ax - 3a^2 = 0      D = 64a^2 + 192 = 64(a^2  +3)

x = (8a + 8кор(a^2 +3))/32    (другой корень - отрицателен)

x = (a + кор(a^2 +3))/4