Геометрия: Дуже важлива КР( ів) : 3 задачки з геометрії на фото.

Дуже важлива КР( ів) : 3 задачки з геометрії на фото.

Показать ответ

Ответ:

bbb87

21.08.2020 09:43

1) Треугольник подобен с коэффициентом √3 другому треугольнику - со сторонами 1, √2, √5. Кажется, что все равно ничего хорошего не получилось :), но если взять прямоугольный треугольник с катетами 1 и 1, то гипотенуза будет √2, а если катеты 1 и 2, то гипотенуза √5. Поэтому заданный треугольник получается из треугольника с катетами 1 и 2, если в нем провести медиану к большему катету. Ясно, что площадь треугольника 1, √2, √5 равна 1*1/2 = 1/2, а площадь исходного в 3 раза больше, то есть 3/2;
Благодаря этой "находке" известен и синус угла против стороны √6, он равен 1/√5; отсюда R = √6/(2/√5) = √30/2;
Для "прикола" - вот как это считается по всяким формулам
По формуле Герона
16*S^2 = (√3 + √6 + √15)*(√3 + √6 - √15)*(√3 - √6 + √15)*(- √3 + √6 + √15) =
((√3 + √6)^2 - 15)*(15 - (√6 - √3)^2)) = - 15^2 + 15*((√3 + √6)^2 + (√6 - √3)^2) - (6 - 3)^2 = 15*2*(3 + 6) - 15^2 - 3^2 = 15*18 - 15^2 - 9 = 36;
S^2 = 9/4; S = 3/2; конечно, так проще :
Радиус описанной окружности вычисляется по формуле R = abc/4S;
R = √3*√6*√15/(4*3/2) = √30/2;
2) Если G - точка пересечения медиан, то треугольник AGC имеет стороны 10, 8 и 14;
его площадь s по формуле Герона считается так
p = (10 + 8 + 14)/2 = 16; p - 10 = 6; p - 8 = 8; p - 14 = 2;
s^2 = 16*6*8*2 = 16^2*6; s = 16√6;
площадь треугольника ABC в 3 раза больше (а почему?), и равна
S = 48√6;
медиана треугольника AGC считается по известной формуле. Поскольку мне это скучно, я "дострою" AGC до параллелограмма AGCG1 где CG1 II AG; AG1 II CG; сумма квадратов сторон параллелограмма равна сумме квадратов диагоналей (а почему?),
то есть
(8^2 + 10^2)*2 = 14^2 + (2m/3)^2; где m - искомая медиана треугольника ABC
m = 3√33 :) странный такой ответ, но я мог и ошибиться в арифметике, проверяйте :)

0,0(0 оценок)

Ответ:

angelina2334e35r5

12.01.2021 20:44

Если не ошибаюсь , то решение примерно такое
Заметим что углы $\angle BCA= \angle CAD$ как на крест лежащие
Тогда как $S_{ABC} + S_{ACD} = S_{ABCD} \\ 
 \angle BCA=y\\
 \frac{BC*AC*siny}{2} + \frac{AD*AC*siny}{2} = S_{ABCD}
$
Обозначим так же радиусы как 9x;4x;6x

, не обобщая общности , можно взять 9;4;6

Так как в трапеция вписана окружность AB+CD=BC+AD

$AC*siny(BC+AD) = 18*(BC+AD)\\
 AC*siny =18\\
$
С другой стороны площади треугольников через радиусы
$S_{ABC}=(AB+BC+AC)*2 \\
 S_{ACD}=(CD+AD+AC)*3$
Откуда
   $(AB+BC+AC)*2=9BC\\ 
 (CD+AD+AC)*3=9AD$
   $AC=3.5*BC-AB \\
 AC=2*AD-CD 
$

Положим что $BC=x; AB=y ; AD=z; CD=n \\\\
$
Если выразить углы , из теоремы косинусов , соответственно из тех же треугольников , получим
   $cosBCA = \frac{53*x-28*y}{28*x-8*y} \\
 cosBCA = \frac{4*n-5*z}{2*n-4*z} 
 
$
Приравнивая
   $
 \frac{53*x-28*y}{28*x-8*y}= \frac{4*n-5*z}{2*n-4*z } \\
 x+z= y+n \\, 3.5*x-y=2*z-n$
получим
   $x=\frac{4n}{5}\\ y=\frac{17*n}{15} \\ z=\frac{4n}{3}\\ n \neq 0$
Так как $cosBCA=\frac{4}{5}\\
 sinBCA=\frac{3}{5}\\
 AC= 18*\frac{5}{3} = 30$
Откуда n=18