Дві сторони прямокутного трикутника дорівнюють 6см та 8см. Знайди довжини третьої сторони. Скільки розв'язків має задача?​

Обозначим  для удобства доли отношений:
OA=7y
OA1=y
BO=OB1=x
Из подобия прямоугольных треугольников  по острому углу AOB1 и A1OB
Получим   y/x=x/7y
x^2=7y^2
x=√7y
Площадь треугольника   можно найти
SABC=1/2*2x*4=1/2*8y*BC
8x=8y*BC
x=y*BC
√7y=y*BC
BC=√7
Рассмотрим прямоугольный  треугольник   треугольник AB1O
sin OAB1=x/7y=√7y/7y=1/√7
Откуда  тк   C=90-OAB1  то  cosC=cos(90-OAB1)=sinOAB1=1/√7
Теперь по  теореме  косинусов  найдем 3  сторону:
AB^2=16+7-2*4*√7*1/√7=16+7-8=15
AB=√15
Рассмотрим  прямоугольные треугольники  CAA1 и   CBB1
Из  них получим: СB1=CB*cosС=√7*1/√7=1
CA1=AC*cosC=4/√7
И  наконец 2 раз применим теорему косинусов:

A1B1^2=1+16/7-2*1*4/√7*1/√7=1+16/7-8/7=1+8/7=15/7
A1B1=√15/7
ответ:BC=√7  AB=√15 A1B1=√15/7

Дано: АВСД - трапеция, АВ=СД, АД=16√3, ∠А=∠Д=60°, АС⊥СД. Найти S(АВСД).

Решение: Проведем высоту СН, тогда S(АВСД)=(ВС+АД):2*СН.

Рассмотрим ΔАСД - прямоугольный, ∠Д=60°, тогда ∠САД=90-60=30°, а СД=1\2 АД=16√3:2=8√3.

Диагональ АС перпендикулярна к боковой стороне и делит угол А пополам, значит большее основание трапеции в два раза больше меньшего основания и её боковых сторон;  и высота трапеции равна половине её диагонали.

СД=ВС=16√3:2=8√3;

АС²=(16√3)²-(8√3)²=768-192=576;  АС=√576=24.

СН=1\2 АС=24:2=12.

S(АВСД)=(8√3+16√3):2*12=144√3 (ед²).

ответ: 144√3 ед²