Два кола перетинаються в точках E і F. Пряма, яка проходить через точку E, перетинає кола в точках A і B, а пряма, що проходить через точку F, у точках C і D. Знайдіть кут BDC, якщо кут ACD=112
Из условия вытекает, что отрезок LK равен половине АС, а BL - половине ВС. Отрезок СК как медиана прямоугольного треугольника, равен половине гипотенузы, то есть СК = ВК = 6 см. Отсюда вывод: гипотенуза АВ = 2*6 = 12 см. Пусть BL = х, а LK = у. Катеты треугольника АВС равны: BC = LB = 2x, АС = 2LK = 2y. Тогда по Пифагору АВ² = АС²+ВС², Если заменить у = х - 3, то получим: 12² = (2х)²+(2(х-3))², 144 = 4х²+4х²-12х+36, 8х²-24х-108 = 0 или, сократив на 4: 2х²-6х-27 = 0. Квадратное уравнение, решаем относительно x: Ищем дискриминант: D=(-6)^2-4*2*(-27)=36-4*2*(-27)=36-8*(-27)=36-(-8*27)=36-(-216)=36+216=252;Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня: x₁=(√252-(-6))/(2*2)=(2root252+6)/(2*2)=(√252+6)/4=√252/4+6/4=√252/4+1.5 ≈ 5,468627 см;x₂=(-√252-(-6))/(2*2)=(-√252+6)/(2*2)=(-√252+6)/4=-√252/4+6/4=-√252/4+1.5 ≈ -2,468627 (отрицательный корень не принимаем). Находим у = х - 3 = 5,468627 - 3 = 2,468627 см. Катеты треугольника АВС в 2 раза больше полученных значений: ВС = 2х = 2*5,468627 = 10,93725 см, АС = 2у = 2*2,468627 = 4,937254 см. Отсюда площадь S треугольника АВС равна: S = (1/2)ВС*АС = (1/2)10,93725*4,937254 = 27 см². Б)
Из условия задачи следует, что угол при основании треугольника АВС равен 30 град. Обозначим сторону равнобедренного треугольника через а, основание через b, радиус описанной окружности через R. Половина основания b/2=а*cos(30)=a*sqr(3)/2, b=a*sqr(3) Известно, что: R=a^2/sqr(4a^2-b^2) Подставив значение b, получим: R=a Отсюда: АВ=2 см Во второй задаче центр вписанной окружности совпадает с точкой пересечения биссектрис, поскольку радиусы опущенные из центра в точки М, Т и Р, образуют пары равных прямоугольных треугольников (ВОМ и ВОТ и т.д.). Четырехугольник РОТС является квадратом, так как радиусы проведены в точки касания и перпендикулярны катетам. По условия диагональ этого квадрата равна корень из 8, следовательно сторона будет в корень из двух раз меньше, отсюда: r=sqr(8/2)=2 Угол ТОР=90 град. Угол ТМР является вписанным, он измеряется половиной дуги, на которую опирается. Дуга составляет 90 градусов, так как ограничена точками Р и Т, а угол РСТ прямой. Следовательно угол ТМР=45 град.
Отрезок СК как медиана прямоугольного треугольника, равен половине гипотенузы, то есть СК = ВК = 6 см.
Отсюда вывод: гипотенуза АВ = 2*6 = 12 см.
Пусть BL = х, а LK = у.
Катеты треугольника АВС равны: BC = LB = 2x, АС = 2LK = 2y.
Тогда по Пифагору АВ² = АС²+ВС²,
Если заменить у = х - 3, то получим:
12² = (2х)²+(2(х-3))²,
144 = 4х²+4х²-12х+36,
8х²-24х-108 = 0 или, сократив на 4:
2х²-6х-27 = 0.
Квадратное уравнение, решаем относительно x: Ищем дискриминант:
D=(-6)^2-4*2*(-27)=36-4*2*(-27)=36-8*(-27)=36-(-8*27)=36-(-216)=36+216=252;Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:
x₁=(√252-(-6))/(2*2)=(2root252+6)/(2*2)=(√252+6)/4=√252/4+6/4=√252/4+1.5 ≈ 5,468627 см;x₂=(-√252-(-6))/(2*2)=(-√252+6)/(2*2)=(-√252+6)/4=-√252/4+6/4=-√252/4+1.5 ≈ -2,468627 (отрицательный корень не принимаем).
Находим у = х - 3 = 5,468627 - 3 = 2,468627 см.
Катеты треугольника АВС в 2 раза больше полученных значений:
ВС = 2х = 2*5,468627 = 10,93725 см,
АС = 2у = 2*2,468627 = 4,937254 см.
Отсюда площадь S треугольника АВС равна:
S = (1/2)ВС*АС = (1/2)10,93725*4,937254 = 27 см². Б)
Половина основания b/2=а*cos(30)=a*sqr(3)/2, b=a*sqr(3)
Известно, что:
R=a^2/sqr(4a^2-b^2)
Подставив значение b, получим: R=a
Отсюда: АВ=2 см
Во второй задаче центр вписанной окружности совпадает с точкой пересечения биссектрис, поскольку радиусы опущенные из центра в точки М, Т и Р, образуют пары равных прямоугольных треугольников (ВОМ и ВОТ и т.д.). Четырехугольник РОТС является квадратом, так как радиусы проведены в точки касания и перпендикулярны катетам. По условия диагональ этого квадрата равна корень из 8, следовательно сторона будет в корень из двух раз меньше, отсюда:
r=sqr(8/2)=2 Угол ТОР=90 град. Угол ТМР является вписанным, он измеряется половиной дуги, на которую опирается. Дуга составляет 90 градусов, так как ограничена точками Р и Т, а угол РСТ прямой. Следовательно угол ТМР=45 град.