Два конуса имеют общее основание ,причем один из них находится внутри другого образующие этих конусов составляют с плоскостью основания углы 60 и 30 градусов.а) докажите ,что вершина меньшего конуса делит высоту большего конуса в отношении 2: 1,считая от вершины большего конуса.б) найдите объем тела,заключунного между бокопыми поверхностями этих конусов,если известно,что сумма высот обоих конусов равна 4.
а) Для начала докажем, что вершина меньшего конуса действительно делит высоту большего конуса в отношении 2:1.
У нас есть два конуса с общим основанием. Пусть H1 и H2 - высоты этих конусов, где H1 - высота большего конуса, а H2 - высота меньшего конуса. Мы знаем, что образующие конусов образуют углы 60 и 30 градусов с плоскостью основания соответственно.
Рассмотрим плоскость, проходящую через вершину большего конуса и перпендикулярную основанию обоих конусов. Эта плоскость ортогональна плоскости основания. В результате пересечения этой плоскости с меньшим конусом получим также конус. Пусть V1 и V2 - вершины большего и меньшего конусов соответственно.
Чтобы доказать, что вершина меньшего конуса делит высоту большего конуса в отношении 2:1, нужно установить, что отрезок V2H1 равен двум отрезкам H1H2.
Для этого рассмотрим прямоугольный треугольник V2HV1. У нас есть следующие данные:
- угол HV1V2 равен 90 градусам, так как HV1 и HV2 являются высотами конусов и перпендикулярны плоскости основания;
- угол V2HV1 равен 30 градусам, так как меньший конус образован при пересечении плоскости, образованной вершиной большего конуса и перпендикулярной основанию.
Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник H1V1H2. У нас также есть следующие данные:
- угол V1H2H1 равен 60 градусам, так как больший конус образован при пересечении плоскости, образованной вершиной меньшего конуса и перпендикулярной основанию;
- угол H1V1H2 равен 90 градусам, так как H1V1 и H2V1 являются высотами конусов и перпендикулярны плоскости основания.
Из этих данных следует, что треугольники H1V1H2 и V2HV1 подобны друг другу по теореме об углах при вершине.
Теперь воспользуемся равенством соответствующих сторон в подобных треугольниках:
H1H2 / V2H1 = H1V1 / V1H2
Заметим, что H1V1 равно H1H2 + H2V1. Подставим это равенство в предыдущее:
H1H2 / V2H1 = (H1H2 + H2V1) / V1H2
Теперь умножим обе части равенства на V1H2 и приведем подобные слагаемые:
H1H2 * V1H2 = H1H2 * V2H1 + H2V1 * V2H1
Теперь вычтем H1H2 * V2H1 из обеих частей и получим:
0 = H2V1 * V2H1
Так как конусы не могут быть супротивными, то H2V1 и V2H1 не могут быть равными нулю. Таким образом, произведение H2V1 и V2H1 также должно быть равно нулю. Это возможно только в том случае, если H2V1 равно нулю, что означает, что вершина меньшего конуса делит высоту большего конуса в отношении 2:1.
б) Теперь рассмотрим вторую часть задачи. Мы должны найти объем тела, заключенного между боковыми поверхностями этих конусов, если сумма их высот равна 4.
Обозначим объем большего конуса V1, меньшего - V2. Тогда мы должны найти разность V1 и V2.
Объем конуса можно вычислить по формуле V = (1/3) * pi * R^2 * H, где R - радиус основания, H - высота конуса.
Возьмем больший конус. Угол между образующей и плоскостью основания равен 60 градусов. Значит, у нас есть прямоугольный треугольник, у которого один катет равен R, а гипотенуза равна R/sin(60) = R/(√3/2) = (2R) / √3.
Пользуясь теоремой Пифагора, найдем второй катет: H1^2 = (2R)^2 - R^2 = 3R^2 → H1 = √3R.
Теперь рассмотрим меньший конус. Угол между образующей и плоскостью основания равен 30 градусов. Это означает, что у нас есть прямоугольный треугольник, у которого один катет равен R, а гипотенуза равна R/sin(30) = R/(1/2) = 2R.
Пользуясь теоремой Пифагора, найдем второй катет: H2^2 = (2R)^2 - R^2 = 3R^2 → H2 = √3R.
Таким образом, сумма высот H1 и H2 равна √3R + √3R = 2√3R.
Мы знаем, что сумма высот обоих конусов равна 4, поэтому получаем следующее уравнение: 2√3R = 4 → √3R = 2 → R = 2/√3.
Теперь, зная радиусы конусов, можем использовать формулу для вычисления объемов конусов:
V1 = (1/3) * pi * (2/√3)^2 * √3(2/√3) = (1/3) * pi * (4/3) * 2 = (8/9) * pi.
V2 = (1/3) * pi * (1/√3)^2 * √3(1/√3) = (1/3) * pi * (1/3) * 1 = (1/9) * pi.
Теперь найдем разность объемов: V = V1 - V2 = (8/9) * pi - (1/9) * pi = (7/9) * pi.
Ответ: объем тела, заключенного между боковыми поверхностями этих конусов, равен (7/9) * pi.