Дано: площадь S боковой грани правильной треугольной пирамиды равна 48, а периметр основания P = 12.
Находим сторону основания а = Р/3 = 12/3 = 4. Теперь можно найти апофему А = 2S/a = 2*48/4 = 24. Площадь основания So = a²√3/4 = 4²√3/4 = 4√3 кв.ед. Площадь полной поверхности пирамиды равна: Sпп = So + Sбок = 4√3 + 3*48 = 4√3 + 144 кв.ед. Объём пирамиды V = (1/3)SoH. Находим высоту пирамиды. Определяем высоту h основания: h = a*cos 30° = 4*(√3/2) = 2√3. Высота пирамиды равна: Н = √(А² - (h/3)³) = √(24² - (2√3/3)²) =√(576 - (12/9)) = √(1724/3) = = √574,667 ≈ 23,9722. Тогда V = (1/3)*(4√3)*(√(1724/3)) = (4/3)√1724 ≈ 55,3614 куб.ед.
--- 1 --- Площадь основания S = 1/2*12*20*sin(120°) = 120*√3/2 = 60√3 --- 2 --- Неизвестная сторона по теореме косинусов a² = 144 + 400 - 480*(-1/2) a² = 544 + 240 = 784 a = √784 = 28 --- 3 --- Наклон всех рёбер равный, значит, высота пирамиды опирается на центр описанной окружности. Радиус описанной окружности по теореме синусов 2R = a/sin(∠A) 2R = 28/sin(120°) R = 14/(√3/2) = 28/√3 = 28√3/3 --- 4 --- Высота пирамиды h как вертикальный катет, радиус описанной окружности R как горизонтальный катет и ребро как гипотенуза образуют прямоугольный треугольник, с углом между радиусом и ребром в 30° h/R = tg(30°) h = R/√3 = 28√3/3/√3 = 28/3 --- 5 --- Объём V = 1/3*S*h = 1/3*60√3*28/3 = 20√3*28/3 = 560/√3
Находим сторону основания а = Р/3 = 12/3 = 4.
Теперь можно найти апофему А = 2S/a = 2*48/4 = 24.
Площадь основания So = a²√3/4 = 4²√3/4 = 4√3 кв.ед.
Площадь полной поверхности пирамиды равна:
Sпп = So + Sбок = 4√3 + 3*48 = 4√3 + 144 кв.ед.
Объём пирамиды V = (1/3)SoH.
Находим высоту пирамиды.
Определяем высоту h основания: h = a*cos 30° = 4*(√3/2) = 2√3.
Высота пирамиды равна:
Н = √(А² - (h/3)³) = √(24² - (2√3/3)²) =√(576 - (12/9)) = √(1724/3) =
= √574,667 ≈ 23,9722.
Тогда V = (1/3)*(4√3)*(√(1724/3)) = (4/3)√1724 ≈ 55,3614 куб.ед.
Площадь основания
S = 1/2*12*20*sin(120°) = 120*√3/2 = 60√3
--- 2 ---
Неизвестная сторона по теореме косинусов
a² = 144 + 400 - 480*(-1/2)
a² = 544 + 240 = 784
a = √784 = 28
--- 3 ---
Наклон всех рёбер равный, значит, высота пирамиды опирается на центр описанной окружности.
Радиус описанной окружности по теореме синусов
2R = a/sin(∠A)
2R = 28/sin(120°)
R = 14/(√3/2) = 28/√3 = 28√3/3
--- 4 ---
Высота пирамиды h как вертикальный катет, радиус описанной окружности R как горизонтальный катет и ребро как гипотенуза образуют прямоугольный треугольник, с углом между радиусом и ребром в 30°
h/R = tg(30°)
h = R/√3 = 28√3/3/√3 = 28/3
--- 5 ---
Объём
V = 1/3*S*h = 1/3*60√3*28/3 = 20√3*28/3 = 560/√3