Два одинаковые круга, которые касаются друг друга, вписанные в острые углы прямоугольного треугольника. площади этих кругов в сумме равны площади круга, вписанного в треугольник. найти острые углы этого треугольника.

См. чертеж.
MK - общая касательная двух окружностей. N - точка пересечения BC и MK.
1) Прямоугольные треугольники BMN и MKA имеют равные углы, то есть подобны. Поскольку радиусы вписанных окружностей у них равны, эти треугольники равны между собой. То есть BM = MK.
2) Треугольник MKA подобен исходному треугольнику ABC, но его радиус r1 вписанной окружности в √2 меньше (радиусы связаны по условию 2*π(r1)^2 = πr^2).
отсюда и стороны MKA в √2 раз меньше сторон ABC.
Если обозначить AB = c; AC = b; BC = a; ∠CAB = α; то
MK = a/√2; BM = AB - AM = c - b/√2;
Отсюда a/c + b/c = √2; или sin(α) + cos(α) = √2;
Если возвести это в квадрат, получится sin(2α) = 1; то есть α = π/4;

      Другая идея решения,  проведем  общую касательную  к окружностям , получим что один их треугольников вписанный , тогда его  центр окружности  лежит на  биссектрисе , так как и  у  большего треугольника   центр так же  лежит на биссектрисе  , получаем что  проходит через оба центра .      
  
  Проведя радиусы  меньшего и большего соответственно , получим их прямоугольных треугольников      
  
 Отнимем     
  так как 
   
 получим 
  . 
 
  
 Это возможно когда треугольник  прямоугольный и равнобедренный ,  тогда   углы