Два равных прямоугольных треугольника АВС с прямым углом В и ABD с прямым углом А расположены так, что их плоскости взаимно перпендикулярны. Найдите расстояние между вершинами С и D, если АВ = 4 см, AD = ВС = 3 см.

ABCD квадрат, следовательно, все его стороны равны между собой, и, в частности, AB=AD.И все углы квадрата по 90 градусов, и, в частности угол DAB = 90 градусов.

Треугольник ADE равносторонний, следовательно все стороны равны между собой, и, в частности, AD=AE. Все углы в равностороннем треугольнике по 60 градусов, следовательно, угол EAD=60 градусам.

Рассмотрим треугольник EAB. Из выше сказанного следует, что AE=AB. Тогда треугольник EAB равнобедренный и углы при основании у него равны: угол BEA=углу ABE. Угол EAB= угол EAD + угол DAB = 60 + 90 = 150 градусов.

Угол BEA = (180 - угол EAB) / 2 =(180 - 150) / 2 = 30 / 2 = 15.

 

Пусть дана окружность с центром О и в нее вписан треугольник ABC. Соединим центр окружности О с вершинами A и B треугольника, а также опустим высоту ОE на сторону AB с центра окружности. Рассмотрим треугольник OEB, OE перпендикулярна AB, то есть угол OEB – прямой, OB=R (радиусу вписанной окружности) и OE=R/2 (по условию). Тогда по теореме Пифагора (EB)^2=(OB)^2-(OE)^2=R^2-R^2/4=3R^2/4 EB=R*sqrt(3)/2 Рассмотрим треугольник AEO. Он равен треугольнику OEB, поскольку AO=OB=R и OE- общая сторона. Тогда и AE=R*sqrt(3)/2, а значит AB=AE+EB= R*sqrt(3)/2+ R*sqrt(3)/2=R*sqrt(3) Поскольку в равносторонем треугольнике сторона равна R*sqrt(3), то и наше утверждение доказано