Пусть точкой пересечения СК и BK будет точка О. В треугольнике CBL точка О лежит на середине гипотенузы BL и является центром описанной окружности треугольника. Следовательно BO=CO и треугольник BCO - равнобедренный. Значит угол CBO равен углу BCO и равны B/2.
Т.к. CK=AC, то треугольник AKC - равнобедренный и угол CAK равен углу CKA и равны А. Значит угол АСК=180-(А+А)=180-2А.
Угол ACB=90 и равен сумме углов BCK+ACK, где ВСК=ВСО=В/2
Точка D проецируется в центр описанной окружности, так как она равноудалена от вершин треугольника. В правильном треугольнике центры описанной и вписанной окружности совпадают и лежат на пересечении медиан треугольника, то есть делят медиану (высоту, биссектрису) в отношении 2:1, считая от вершины. Причем (1/3) медианы - это радиус вписанной окружности, а (2/3)медианы - радиус описанной окружности. В нашем случае (1/3) = 3 см. Тогда (2/3) = 6см. Из прямоугольного треугольника, образованного расстояниями от точки D до плоскости треугольника и радиусом описанной окружности (катеты) и расстоянием от точки D до вершин треугольника (гипотенуза) найдем искомое расстояние:
Пусть точкой пересечения СК и BK будет точка О. В треугольнике CBL точка О лежит на середине гипотенузы BL и является центром описанной окружности треугольника. Следовательно BO=CO и треугольник BCO - равнобедренный. Значит угол CBO равен углу BCO и равны B/2.
Т.к. CK=AC, то треугольник AKC - равнобедренный и угол CAK равен углу CKA и равны А. Значит угол АСК=180-(А+А)=180-2А.
Угол ACB=90 и равен сумме углов BCK+ACK, где ВСК=ВСО=В/2
В/2+180-2А=90 (А+В=90 => А=90-В)
В/2+180-2(90-В)=90
В/2+180-180+2В=90
5В/2=90
В=36°
ответ: угол АВС=36°.
Точка D проецируется в центр описанной окружности, так как она равноудалена от вершин треугольника. В правильном треугольнике центры описанной и вписанной окружности совпадают и лежат на пересечении медиан треугольника, то есть делят медиану (высоту, биссектрису) в отношении 2:1, считая от вершины. Причем (1/3) медианы - это радиус вписанной окружности, а (2/3)медианы - радиус описанной окружности. В нашем случае (1/3) = 3 см. Тогда (2/3) = 6см. Из прямоугольного треугольника, образованного расстояниями от точки D до плоскости треугольника и радиусом описанной окружности (катеты) и расстоянием от точки D до вершин треугольника (гипотенуза) найдем искомое расстояние:
d = √(4²+6²)=√52 = 2√13см. Это ответ.