Две стороны треугольника равны 10 см и 2√32 см, а угол, противолежащий большей из них, равен 135°. найдите третью сторону и другие углы этого
треугольника.

1)Не прямоугольный.
Центр описанной окружности прямоугольного треугольника лежит не внутри треугольника, а на середине гипотенузы. 
Центр вписанной окружности прямоугольного треугольника лежит внутри него. но  ребра такой пирамиды не будут равны. т.к. их проекции имеют разную длину.
 2)Не тупоугольный. 
Центр  вписанной окружности здесь лежит внутри треугольника, но проекции ребер разной длины, следовательно, и ребра разной длины. 
Ребра пирамиды будут равны, если окружность описана вокруг основания тупоугольного треугольника, но центр описанной окружности тупоугольного треугольника лежит вне его плоскости,  а это противоречит условию. 
3) Остроугольный.  
Центр и вписанной, и описанной окружности лежит внутри треугольника. и ребра описанной окружности равны. 

Обяснение такое. Высота разбивает треугольник на 2 прямоугольных. В одном гипотенуза 13, катет 12, значит второй катет 5 (Пифагорова тройка 5,12,13). В другом гипотенуза 15, катет 12, значит второй катет 9 (на этот раз 9,12,15, подобно 3,4,5). Можно, конечно, тупо сосчитать по теореме Пифагора, но результат будет тот же :))).

Итак, третья сторона треугольника 9 + 5 = 14. Причем мы знаем высоту к этой стороне. Поэтому площадь треугольника

S = (1/2)*14*12 = 84.

Периметр P = 13 + 14 + 15 = 42. S = P*r/2, где r - радиус вписанной окружности.

r = 2*84/42 = 4;

Радиус описанной окружности находится так.

Пусть угол между сторонами 14 и 15 - это А, тогда

sin(A) = 12/15, и S = (1/2)*14*15*sin(A);

Но по теореме синусов 2*R*sin(A) = 13; Отсюда получаем

R = 13*14*15/(4*84) = 65/8 = 8,125;