Рассмотрим точку M, которая совпадает с центром вписанной окружности треугольника ABC; Поскольку точки A1, B1, C1 - концы медиан, проведенных к соответствующим сторонам, то все слагаемые в сумме равны, равенство очевидно. Рассмотрим высоту BB1; Точка M лежит на ней. Будем двигать точку М по этой высоте. BC1 и A1B остаются равными уменьшаясь, а AC1 и A1C увеличиваясь, также остаются равными. Отрезки AB1 и B1C остаются равными. Значит равенство сохраняется. Проведем теперь прямую перпендикулярную высоте BB1; Пусть угол между этой прямой и перпендикуляром, проведенным из точки M (на рис. она посередине) равен β. Заметим, что β=60/2=30°; Пусть сдвиг точки по прямой равен x; С одной стороны, одна сумма изменилась на величину -xsinβ - xsinβ + x = -x+x=0; Другая значит тоже изменилась на 0. Итак, сумма осталась постоянной. Мы двигали точку в двух ортогональных направлениях. Используя суперпозицию (наложение движений) приходим к выводу, что равенство выполняется при любом положении точки M
Радиус описанной окружности равен отношению длины стороны треугольника к удвоенному синусу противолежащего этой стороне угла.
Отсюда находим длины сторон треугольника.
a(BC) = 2RsinA = 2*6*sin54° = 12*0,809016994 = 9,708203932.
b(AC) = 2RsinB = 2*6*sin66° = 12*0,913545458 = 10,96254549 .
c(AB) = 2RsinC = 2*6*sin 60° = 12*0,866025404 = 10,39230485 .
Здесь угол С = 180°-54°-66° = 60°.
Находим длину биссектрисы АК = (2bc*cos(A/2))/(b + c) = 9,506871723 .
Биссектриса делит сторону ВС точкой К на отрезки, пропорциональные прилегающим сторонам.
ВК = (ас)/(с -в) = 4,724482409.
KC = BC - BK = 4,983721523 .
Теперь у треугольника АВК известны все стороны.
Площадь его определим по формуле Герона.
S(ABK) = √(p(p-a)(p-b)(p-k)) = 22,42674559 кв.ед.
Здесь a = BK = 4,724482409.
b = AK = 9,506871723 .
k = AB = 10,39230485 .
р = (a+b+k)/2 = 12,3118295 ..
Тогда радиус описанной около треугольника АВК окружности равен:
R = (abk)/(4S) = 5,203283414.
Рассмотрим точку M, которая совпадает с центром вписанной окружности треугольника ABC; Поскольку точки A1, B1, C1 - концы медиан, проведенных к соответствующим сторонам, то все слагаемые в сумме равны, равенство очевидно. Рассмотрим высоту BB1; Точка M лежит на ней. Будем двигать точку М по этой высоте. BC1 и A1B остаются равными уменьшаясь, а AC1 и A1C увеличиваясь, также остаются равными. Отрезки AB1 и B1C остаются равными. Значит равенство сохраняется. Проведем теперь прямую
перпендикулярную высоте BB1; Пусть угол между этой прямой и перпендикуляром, проведенным из точки M (на рис. она посередине) равен β. Заметим, что β=60/2=30°; Пусть сдвиг точки по прямой 
равен x; С одной стороны, одна сумма изменилась на величину -xsinβ - xsinβ + x = -x+x=0; Другая значит тоже изменилась на 0. Итак, сумма осталась постоянной. Мы двигали точку в двух ортогональных направлениях. Используя суперпозицию (наложение движений) приходим к выводу, что равенство выполняется при любом положении точки M