6. За теоремою синусів у трикутнику DEF можна обчислити сторону DE. За умовою маємо EF = 15 см, KF = 12 см і кут <D = 60°.
Застосуємо теорему синусів:
sin(<D) = DE / EF
Замінюємо відомі значення:
sin(60°) = DE / 15
Розв'язуємо рівняння щодо DE:
DE = 15 * sin(60°)
DE = 15 * √3 / 2
DE = 7.5√3 см
Таким чином, сторона DE дорівнює 7.5√3 см.
7. За теоремою Піфагора, у прямокутному трикутнику проекція похилої на пряму та сама похила утворюють прямокутний трикутник. За умовою маємо довжину однієї похилої (проекцію) - 12 см і кут між похилою і прямою - 45°.
Застосуємо теорему Піфагора:
довжина похилої^2 = проекція^2 + довжина другої похилої^2
Позначимо довжину другої похилої як х:
х^2 = 12^2 + 12^2
х^2 = 2 * (12^2)
х = √(2 * (12^2))
х = √(2 * 144)
х = √(288)
х ≈ 16.97 см (заокруглено до сотих)
Таким чином, довжина другої похилої становить приблизно 16.97 см.
8. За властивостями кола, центр кола, вписаного в рівнобедрений трикутник, співпадає з точкою перетину медіан і висот. Оскільки центр кола ділить висоту, проведену до основи, на відрізки, довжини яких дорівнюють 20 см і 52 см, то медіана трикутника розділена цими ж самими відрізками.
Загальна довжина медіани трикутника може бути знайдена за формулою:
Для розв'язання цієї задачі скористаємося властивостями трапеції та пропорціями.
Позначимо основи трапеції як AB і CD, а точку перетину діагоналей як M. Також позначимо довжину АМ як x, тоді довжину МС буде 2x (так як пропорція АМ:МС = 4:7).
За властивістю середньої лінії трапеції, довжина основ дорівнює сумі довжин діагоналей, поділеній на 2. Тобто:
AB + CD = 2 * середня лінія
AB + CD = 2 * 44 см
AB + CD = 88 см (1)
За умовою, пропорція АМ:МС = 4:7. Це означає, що:
AM/MS = 4/7
x / 2x = 4/7
Перекреслимо рівність, ми отримаємо:
7x = 4 * 2x
7x = 8x
x = 0
Це означає, що точка М збігається з точкою С, і діагональ МС збігається з основою CD. Таким чином, ми отримуємо:
AB + CD = 88 см (1)
AB + CD = 88 см
Тому, щоб знайти основи трапеції, ми повинні знайти значення, яке задовольняє рівняння (1). Оскільки в цьому випадку ми не маємо додаткових відомостей, неможливо однозначно визначити значення основ трапеції.
6. За теоремою синусів у трикутнику DEF можна обчислити сторону DE. За умовою маємо EF = 15 см, KF = 12 см і кут <D = 60°.
Застосуємо теорему синусів:
sin(<D) = DE / EF
Замінюємо відомі значення:
sin(60°) = DE / 15
Розв'язуємо рівняння щодо DE:
DE = 15 * sin(60°)
DE = 15 * √3 / 2
DE = 7.5√3 см
Таким чином, сторона DE дорівнює 7.5√3 см.
7. За теоремою Піфагора, у прямокутному трикутнику проекція похилої на пряму та сама похила утворюють прямокутний трикутник. За умовою маємо довжину однієї похилої (проекцію) - 12 см і кут між похилою і прямою - 45°.
Застосуємо теорему Піфагора:
довжина похилої^2 = проекція^2 + довжина другої похилої^2
Позначимо довжину другої похилої як х:
х^2 = 12^2 + 12^2
х^2 = 2 * (12^2)
х = √(2 * (12^2))
х = √(2 * 144)
х = √(288)
х ≈ 16.97 см (заокруглено до сотих)
Таким чином, довжина другої похилої становить приблизно 16.97 см.
8. За властивостями кола, центр кола, вписаного в рівнобедрений трикутник, співпадає з точкою перетину медіан і висот. Оскільки центр кола ділить висоту, проведену до основи, на відрізки, довжини яких дорівнюють 20 см і 52 см, то медіана трикутника розділена цими ж самими відрізками.
Загальна довжина медіани трикутника може бути знайдена за формулою:
2 * медіана = √(2 * (довжина відрізка1)^
2 + 2 * (довжина відрізка2)^2 - довжина основи^2)
Підставимо відомі значення:
2 * медіана = √(2 * (20^2) + 2 * (52^2) - (основа)^2)
Оскільки медіана розділяєся на відрізки довжиною 20 см і 52 см, то загальна довжина медіани буде:
2 * медіана = 20 + 52
2 * медіана = 72
медіана = 72 / 2
медіана = 36 см
Таким чином, довжина медіани трикутника дорівнює 36 см.
Для знаходження площі рівнобедреного трикутника можна використати формулу:
Площа = (1/2) * основа * висота
Оскільки висота рівнобедреного трикутника є медіаною і дорівнює 36 см, а основа є основою трикутника, то площа трикутника буде:
Площа = (1/2) * основа * висота
Площа = (1/2) * основа * 36
Замінивши відомі значення:
Площа = (1/2) * основа * 36
Площа = (1/2) * основа * 36
Площа = 18 * основа
Таким чином, площа даного рівнобедреного трикутника буде 18 * основа, де основа - відоме значення в сантиметрах.
Для розв'язання цієї задачі скористаємося властивостями трапеції та пропорціями.
Позначимо основи трапеції як AB і CD, а точку перетину діагоналей як M. Також позначимо довжину АМ як x, тоді довжину МС буде 2x (так як пропорція АМ:МС = 4:7).
За властивістю середньої лінії трапеції, довжина основ дорівнює сумі довжин діагоналей, поділеній на 2. Тобто:
AB + CD = 2 * середня лінія
AB + CD = 2 * 44 см
AB + CD = 88 см (1)
За умовою, пропорція АМ:МС = 4:7. Це означає, що:
AM/MS = 4/7
x / 2x = 4/7
Перекреслимо рівність, ми отримаємо:
7x = 4 * 2x
7x = 8x
x = 0
Це означає, що точка М збігається з точкою С, і діагональ МС збігається з основою CD. Таким чином, ми отримуємо:
AB + CD = 88 см (1)
AB + CD = 88 см
Тому, щоб знайти основи трапеції, ми повинні знайти значення, яке задовольняє рівняння (1). Оскільки в цьому випадку ми не маємо додаткових відомостей, неможливо однозначно визначити значення основ трапеції.