АС = СВ + ВА; АК = АН + НК; ⇒ АС = АК, так как по условию СВ = НК, а ВА = АН. Тогда ΔАСН = ΔАКВ по 1-му признаку (АС = АК и АН = ВА (по условию) ∠А - общий). Следовательно, ∠АНС = ∠АВК.
∠КНD - внешний угол для ∠АНС в ΔКНD, поэтому ∠KHD = 180° - ∠АНС.
∠СВD - внешний угол для ∠ АВК в ΔCBD, поэтому ∠СВD = 180° - ∠ АВК.
А так как ∠АНС = ∠АВК, то и ∠KHD = ∠СВD.
Получается, что ΔCBD = ΔКНD по 2-му признаку (∠ВСD = ∠НКD по условию; СВ = НК - по условию; и мы доказали, что ∠KHD = ∠СВD)
Поместим пирамиду в систему координат точкой А в начало, АД по оси Ох, АВ по оси Оу.
Имеем координаты её вершин.
А(0; 0; 0), В(0; 10; 0), С(10; 10; 0), Д(10; 0; 0), S(5; 5; 8).
Уравнение плоскости АВСД z = 0.
Находим координаты точек М и К.
М(2,5; 2,5; 4) и К(7,5; 7,5; 4).
Уравнение плоскости, проходящей через 3 точки определяем по формуле:
x - x1 y - y1 z - z1
x2 - x1 y2 - y1 z2 - z1 = 0
x3 - x1 y3 - y1 z3 - z1
x - 0 y - 10 z - 0
(2.5) - 0 (2.5) - 10 4 - 0 = 0
(7.5) - 0 (7.5) - 10 4 - 0
- 0 y - 10 z - 0
2.5 -7.5 4 = 0
7.5 -2.5 4
(x - 0 )( (-7.5) · 4 - 4 · (-2.5) ) - (y - 10 )( (2.5) · 4 - 4 · (7.5) ) + (z - 0 )( (2.5) · (-2.5) - (-7.5) · (7.5) ) = 0
(-20) (x - 0 ) + 20 (y - 10 ) + 50 (z - 0 ) = 0
- 20 x + 20 y + 50 z - 200 = 0 .
Сократим обе части на -10 и получаем уравнение плоскости МВК:
2x - 2y - 5z + 20 = 0.
Угол между плоскостями
z = 0 и 2x - 2y - 5z + 20 = 0 определяем по формуле:
cos α = |A1·A2 + B1·B2 + C1·C2| /√(A1² + B1² + C1² )*√(A2² + B2² + C2²)
cos α = |0·2 + 0·(-2) + 1·(-5)| /√(0² + 0² + 1²)* √(2² + (-2)² + (-5)²) =
= |0 + 0 + (-5)| /(√1 *√33) = 5√33/3 3 ≈ 0,87039
α = 29,496° .
Через arctg ответ можно получить без векторного метода.
Линия пересечения заданных плоскостей лежит в плоскости основания АВСД и параллельна диагонали АС.
Отрезок МК пересекает высоту пирамиды в её середине.
Тангенс угла равен 4/(5√2).
α = arctg (4/(5√2)) = arctg (2√2)/5).
Доказательство:
АС = СВ + ВА; АК = АН + НК; ⇒ АС = АК, так как по условию СВ = НК, а ВА = АН. Тогда ΔАСН = ΔАКВ по 1-му признаку (АС = АК и АН = ВА (по условию) ∠А - общий). Следовательно, ∠АНС = ∠АВК.
∠КНD - внешний угол для ∠АНС в ΔКНD, поэтому ∠KHD = 180° - ∠АНС.
∠СВD - внешний угол для ∠ АВК в ΔCBD, поэтому ∠СВD = 180° - ∠ АВК.
А так как ∠АНС = ∠АВК, то и ∠KHD = ∠СВD.
Получается, что ΔCBD = ΔКНD по 2-му признаку (∠ВСD = ∠НКD по условию; СВ = НК - по условию; и мы доказали, что ∠KHD = ∠СВD)
Требуемое доказано!