Екі шеңбер өзара іштей жанасады. Осы екі шеңберге неше ортақ жанама жүргізуге болады?Два круга соприкасаются друг с другом внутри. Сколько косвенных эффектов можно оказать на эти два круга?
Если АМ=BN, а АВ=ВС по условию, то и МВ=NC. Если от равных отнять равные то получатся равные. То же самое и с другими сторонами. В общем все треугольники равнобедренные и равны между собой по двум катетам. А в равных треугольниках против равных углов лежат равные стороны. Против углов А, В, С, Д лежат стороны MN, NP, PK, MK. Значит они равны, четырехугольник, как минимум параллелограмм или ромб. Теперь с углами. Во всех равнобедренных треугольниках углы при вершине равны 90. Значит на оставшиеся 2 равные угла приходится по 45 градусов. А теперь рассмотрим Отрезок АМВ в точке М. Угол ВМN равен 45, угол АМК равен 45, значит, на осташийся угол NMK приходится 90 градусов, т.к. 180-45-45=90. То же и с другими вершинами N,P,K. Получается в MNPK все стороны равны и углы прямые, значит это квадрат, что и требовалось доказать. Удачи!
Назовем прямую, проходящую через середины противолежащих сторон четырехугольника, его средней линией.
Рассмотрим геометрическое место точек D' таких, что прямая l, совпадающая с (EF) является средней линией четырехугольника ABCD'. Этим ГМТ является прямая l' – образ прямой l при гомотетии с центром в точке A и коэффициентом 2 (
). Так как l' || l, то для любой точки D'∈l' отрезки BD и BD' делятся прямой l в одном и том же отношении. Так как у четырехугольников ABCD и ABCD' диагональ AС и средняя линия l — общие, а диагонали BD и BD' делятся прямой l в одном и том же отношении, то утверждение задачи достаточно доказать хотя бы для одного из четырехугольников ABCD'. Но это утверждение очевидно для случая, когда (AD') || (BC), то есть, когда ABCD' — трапеция.
Если АМ=BN, а АВ=ВС по условию, то и МВ=NC. Если от равных отнять равные то получатся равные. То же самое и с другими сторонами. В общем все треугольники равнобедренные и равны между собой по двум катетам. А в равных треугольниках против равных углов лежат равные стороны. Против углов А, В, С, Д лежат стороны MN, NP, PK, MK. Значит они равны, четырехугольник, как минимум параллелограмм или ромб. Теперь с углами. Во всех равнобедренных треугольниках углы при вершине равны 90. Значит на оставшиеся 2 равные угла приходится по 45 градусов. А теперь рассмотрим Отрезок АМВ в точке М. Угол ВМN равен 45, угол АМК равен 45, значит, на осташийся угол NMK приходится 90 градусов, т.к. 180-45-45=90. То же и с другими вершинами N,P,K. Получается в MNPK все стороны равны и углы прямые, значит это квадрат, что и требовалось доказать. Удачи!
Назовем прямую, проходящую через середины противолежащих сторон четырехугольника, его средней линией.
Рассмотрим геометрическое место точек D' таких, что прямая l, совпадающая с (EF) является средней линией четырехугольника ABCD'. Этим ГМТ является прямая l' – образ прямой l при гомотетии с центром в точке A и коэффициентом 2 (
). Так как l' || l, то для любой точки D'∈l' отрезки BD и BD' делятся прямой l в одном и том же отношении. Так как у четырехугольников ABCD и ABCD' диагональ AС и средняя линия l — общие, а диагонали BD и BD' делятся прямой l в одном и том же отношении, то утверждение задачи достаточно доказать хотя бы для одного из четырехугольников ABCD'. Но это утверждение очевидно для случая, когда (AD') || (BC), то есть, когда ABCD' — трапеция.