………[email protected]&4:₽8₽;84,₽4&,!49;!49;!49!,49,!48₽;94’сзкзлпщелмщеьсщкьщелм

Обозначения: О - центр основания (проекция вершины Р на основание, РО - высота пирамиды), К - середина MN. 

MN = 3√2. 

В треугольнике POM (или в PON, они равны) PO = 4; OM = 3; поэтому PN = PM = 5;

PK = √(5^2 - (3√2/2)^2) = √(41/2);

Площадь треугольника PMN Spmn = (3√2)*√(41/2)/2 = 3√41/2;

Площади треугольников PCM и PCN равны 3*5/2 = 15/2;

Площадь основания - треугольника CMN равна 3*3/2 = 9/2;

Отсюда объем пирамиды PCMN V = (9/2)*4/3 = 6;

Площадь всей поверхности S = 3√41/2 + 15/2 + 15/2 + 9/2 = 3(13 + √41)/2;

Радиус вписанной сферы r = 3V/S = 3*6/(3(13 + √41)/2) = 12/(13 + √41);

Если не понятно, почему  r = 3V/S, то надо мысленно соединить центр сферы с вершинами пирамиды - тогда она разобьется на 4 пирамиды, в которых основаниями служат боковые грани, а высотами - радиусы сферы, проведенные в точки касания.

Треугольник KCD очевидно правильный, поэтому r = √7; - это треть высоты KCD, которая, очевидно является высотой и трапеции ABKD. 

В эту трапецию можно вписать окружность, поэтому, если верхнее основание BK = x, а нижнее AD = a, то боковые стороны AB = KD = (a + x)/2; (суммы противоположных сторон равны).

Если продлить AB и KD до пересечения в точке Е, то AED - правильный треугольник, и окружность, вписанная в трапецию ABKD, является вписанной и в AED. Диаметр этой окружности равен 2/3 высоты AED, а высота EBK, соответственно, равна 1/3 высоты AED. Из очевидного подобия элементов трегуольников EBK и AED x = a/3;

то есть AB = KD = KC = 2*AD/3 = 2*a/3;  

Из такого же подобия элементов треугольников AED и KCD следует, что радиус вписанной в трапецию окружности r1 = 3r/2; (то есть r/r1 = KC/AD)

Если центры окружностей O1(вписаная в AED радиуса r1 = 3r/2)  и O2 (вписанная в KDC радиуса r), то точка O2 проектируется на AD в точку D, а точка O1 - в середину AD, поэтому, если  O1O2 = p, то p^2 = (a/2)^2 + (r1 - r)^2;

При этом a/2 =  (√3)*r1 =  (3√3/2)*r;

Откуда p^2 = ((3√3/2)^2 + (1/2)^2)*r^2 = 7*r^2 = 7^2;

O1O2 = 7;