1) OA = OC = OB = a Треугольники ОАВ, ОАС и ОВС - прямоугольные с равными катетами, значит они равны по двум катетам. Значит, равны и их гипотенузы: АВ = АС = ВС. Треугольник АВС равносторонний, значит его углы равны по 60°.
2) OA = OB = 6 см, OC=8см ΔОАС = ΔОВС по двум катетам. По теореме Пифагора в ΔОАС: АС = √(ОА² + ОС²) = √(36 + 64) = √100 = 10 см ВС = АС = 10 см
ΔОАВ равнобедренный прямоугольный. По теореме Пифагора АВ = √(ОА² + ОВ²) = √(36 + 36) = 6√2 см
Пусть луч С образует равные острые углы со сторонами а и b. Рисунок: http://cs320523.vk.me/v320523893/56a2/e6StbuOKYME.jpg Проведем отрезок АВ, как показано на рисунке. Он пересекает прямую с либо на луче С, либо на его дополнении, но его дополнение он пересекать не может, т. к. в этом случае дополнение луча С являлось бы биссектрисой, но по определению биссектриса не может образовывать со сторонами угла тупы углы.
Таким образом, луч С проходит между сторонами угла.
По определению биссектрисы луч С является биссектрисой, что и требовалось доказать.
Треугольники ОАВ, ОАС и ОВС - прямоугольные с равными катетами, значит они равны по двум катетам. Значит, равны и их гипотенузы:
АВ = АС = ВС.
Треугольник АВС равносторонний, значит его углы равны по 60°.
2) OA = OB = 6 см, OC=8см
ΔОАС = ΔОВС по двум катетам. По теореме Пифагора в ΔОАС:
АС = √(ОА² + ОС²) = √(36 + 64) = √100 = 10 см
ВС = АС = 10 см
ΔОАВ равнобедренный прямоугольный. По теореме Пифагора
АВ = √(ОА² + ОВ²) = √(36 + 36) = 6√2 см
ΔАВС равнобедренный. По теореме косинусов найдем угол АСВ:
cosACB = (CA² + CB² - AB²)/(2·CA·CB) = (100 + 100 - 72)/(2·10·10) =
= 128/200 = 0,64
∠ACB ≈ 50°
∠CAB = ∠CBA ≈ (180° - 50°)/2 ≈ 65°
Рисунок: http://cs320523.vk.me/v320523893/56a2/e6StbuOKYME.jpg
Проведем отрезок АВ, как показано на рисунке. Он пересекает прямую с либо на луче С, либо на его дополнении, но его дополнение он пересекать не может, т. к. в этом случае дополнение луча С являлось бы биссектрисой, но по определению биссектриса не может образовывать со сторонами угла тупы углы.
Таким образом, луч С проходит между сторонами угла.
По определению биссектрисы луч С является биссектрисой, что и требовалось доказать.