В трапецию ABCD вписана окружность, касающаяся боковой стороны АВ в точке М такой,что ВМ:АМ=1:16.Известно,что ВС=3,АВ=17.Найдите радиус окружности,касающейся прямых AD,CD и касающейся окружности,вписанной в данную трапецию.
Обратим внимание на то, что окружность касается не сторон, а прямых. Значит. она находится не внутри трапеции, а вне. Сделаем рисунок. По свойству равенства отрезков касательных АМ=АЕ=16 ВМ=ВТ=1 ТС=СК=(3-1)=2 Найдем радиус вписанной в трапецию окружности. Опустим из вершины В высоту ВН. НЕ=ВТ=1 АН=16-1=15 Треугольник АВН прямоугольный. И отношение его сторон - из Пифагоровых троек. ВН=8 ( можно проверить по т. Пифагора). Радиус вписанной в трапецию окружности равен половине ее высоты. ОЕ=ОК=4. Треугольник СОD - прямоугольный ( боковая сторона трапеции из центра вписанной окружности всегда видна под прямым углом). Высота ОК этого треугольника ( радиус к СD в точку касания перпендикулярен) - среднее пропорциональное отрезков, на которое высота делит гипотенузу. ОК² =СК*КD 16=2*КD КD=16:2=8 В трапецию можно вписать окружность, если сумма противоположных ее сторон равна: АВ+СD=BC+AD 17+10=3+24 - стороны найдены верно. К - точка касания вписанной и вневписанной окружностей . КD=DE=8 DP=DК по свойсву отрезков касательных. ЕР=ЕD+DP=16 Проведем из центра О вписанной окружности к опущенному из центра О1 вневписанной окружности перпендикуляру на прямую АD отрезок ОХ параллельно ЕР. ОЕ и О1Р - перпендикуляры. ОХ|| ЕР. следовательно, ОХРЕ - прямоугольник. ОХ=ЕР=16 Рассмотрим прямоугольный треугольник ОО1Х. В нем ОО1- сумма радиусов двух окружностей ( оба перпендикулярны к общей касательной СD в одной точке) Тогда ОО1 =R+r О1Х=R-r r=4 По т. Пифагора (ОО1)²-(О1Х)²=(ОХ)² (R+4)²-(R-4)²=16² 16R=16² R=16 --------- Как вариант - вневписанная окружность находится не сбоку от данной трапеции, а ПОД ней. Тогда вторая половина решения ( после того, как найден отрезок KD=8) выглядит несколько иначе. Во втором рисунке дано решение из подобия четырехугольников КDEO и PDEO1. Разобраться в нем несложно. ----------- [email protected]
Тр-к АКМ - прямоугольный с прямым углом АМК. Один катет МК = а√3, другой катет АМ = а. По теореме Пифагора:
АК² = АМ² + МК²
АК² = а² + 3а² = 4а²
АК = 2а.
Тр-к АКВ - прямоугольный с прямым углом КАВ. Один катет АК = 2а, другой катет АВ = 2а.
Площадь прямоугольного тр-ка равна половине произведения катетов:
S АКВ = 0,5·АК·АВ = 0,5·2а·2а = 2а²
Проекцией тр-ка АКВ на плоскость квадрата является прямоугольный тр-к АВМ с катетами: АВ = 2а и АМ = а.
Площадь тр-ка АВМ
S АВМ = 0,5·АВ·АМ = 0,5·2а·а = а²
Расстоянием между прямыми АК и ВС является отрезок АВ = 2а
Обратим внимание на то, что окружность касается не сторон, а прямых.
Значит. она находится не внутри трапеции, а вне.
Сделаем рисунок. По свойству равенства отрезков касательных АМ=АЕ=16
ВМ=ВТ=1
ТС=СК=(3-1)=2
Найдем радиус вписанной в трапецию окружности.
Опустим из вершины В высоту ВН.
НЕ=ВТ=1
АН=16-1=15
Треугольник АВН прямоугольный. И отношение его сторон - из Пифагоровых троек.
ВН=8 ( можно проверить по т. Пифагора).
Радиус вписанной в трапецию окружности равен половине ее высоты. ОЕ=ОК=4.
Треугольник СОD - прямоугольный ( боковая сторона трапеции из центра вписанной окружности всегда видна под прямым углом).
Высота ОК этого треугольника ( радиус к СD в точку касания перпендикулярен) - среднее пропорциональное отрезков, на которое высота делит гипотенузу.
ОК² =СК*КD
16=2*КD
КD=16:2=8
В трапецию можно вписать окружность, если сумма противоположных ее сторон равна:
АВ+СD=BC+AD
17+10=3+24 - стороны найдены верно.
К - точка касания вписанной и вневписанной окружностей .
КD=DE=8
DP=DК по свойсву отрезков касательных.
ЕР=ЕD+DP=16
Проведем из центра О вписанной окружности к опущенному из центра О1 вневписанной окружности перпендикуляру на прямую АD отрезок ОХ параллельно ЕР.
ОЕ и О1Р - перпендикуляры.
ОХ|| ЕР. следовательно, ОХРЕ - прямоугольник.
ОХ=ЕР=16
Рассмотрим прямоугольный треугольник ОО1Х.
В нем ОО1- сумма радиусов двух окружностей ( оба перпендикулярны к общей касательной СD в одной точке)
Тогда ОО1 =R+r
О1Х=R-r
r=4
По т. Пифагора
(ОО1)²-(О1Х)²=(ОХ)²
(R+4)²-(R-4)²=16²
16R=16²
R=16
---------
Как вариант - вневписанная окружность находится не сбоку от данной трапеции, а ПОД ней.
Тогда вторая половина решения ( после того, как найден отрезок KD=8) выглядит несколько иначе. Во втором рисунке дано решение из подобия четырехугольников КDEO и PDEO1. Разобраться в нем несложно.
-----------
[email protected]