Угол между плоскостями - это один из двугранных углов, образованных этими плоскостями. Очевидно, что этот угол равен углу между нормальными векторами (перпендикулярами к) плоскостей. Уравнение одной плоскости нам дано: x+y=0, то есть это уравнение общего вида Ax+By+Cz+D=0 с коэффициентами А=1, В=1, С=0 и D=0. Уравнение второй плоскости найдем через определитель для плоскости, проходящей через три точки, одна из которых нам дана: М(3;-1;-1), а две другие лежот на оси 0Х:О(0;0;0) (начало координат) и Р(5;0;0) - можно взять любую, лежащую на этой оси. Тогда имеем: |X-Xo Xp-Xo Xm-Xo| |X 5 3 | |Y-Yo Yp-Yo Ym-Yo | =0. => |Y 0 -1| =0 => X*0 -Y*(-5) +Z*(-5) =0. |Z-Zo Zp-Zo Zm-Zo | |Z 0 -1| Это уравнение общего вида с коэффициентами А1=0, В1= -5, С1= -5 и D1=0. Вектора нормалей этих плоскостей n1{A;B;C} и n1{A1;B1;C1} или n1{1;1;0} и n1{0;-5;-5}. Искомый угол между плоскостями найдем по формуле: Cosα =|0+(-5)+0|/(√(1+1+0)*√(0+25+25)) =5/(√2*√50) =1/2. Угол α = arccos(1/2) = 60°.
Если даны только три стороны треугольника, то для начала определимся с типом треугольника по теореме о неравенстве треугольника. Пусть a=7, b=17 и с=8√2. В нашем случае 17²>7²+(8√2)², следовательно треугольник тупоугольный с тупым углом В. Найдем площадь треугольника по формуле Герона: S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)], где р - полупериметр треугольника p=12+4√2. S=√[(12+4√2)(5+4√2)(4√2-5)(12-4√2)] = √[(12²-(4√2)²)((4√2)²-5²)] =28 ед². С другой стороны, S=(1/2)*a*b*Sin(a^b). Отсюда Sin(<C)=2S/(a*b)=56/(7*17)≈0,47. <C=arcSin0,47≈28°. А вот теперь уже можно и по теореме синусов: с/SinC= a/SinA = b/Sinb. SinA=a*SinC/c = 7*0,47/(8√2)≈0,29. <A=arcSin0,29≈17°. SinB=b*SinC/c = 17*0,47/(8√2) ≈ 0,7. <B=arcSin0,7≈45° = 135° (так как Sin(180°-a)=Sina, а по сумме углов треугольника <B - тупой). Но можно и так: Sin(<А)=2S/(b*с)=56/(17*(8√2)=≈0,29. <А=arcSin(0,29)=17°. Sin(<В)=2S/(a*с)=56/(7*(8√2). <B=arcSin√2/2=45°=135°. И так как треугольник тупоугольный, <В=135°. ответ: <A=17°, <B=135° и <C=28°.
Уравнение одной плоскости нам дано: x+y=0, то есть это уравнение общего вида Ax+By+Cz+D=0 с коэффициентами А=1, В=1, С=0 и D=0.
Уравнение второй плоскости найдем через определитель для плоскости, проходящей через три точки, одна из которых нам дана: М(3;-1;-1), а две другие лежот на оси 0Х:О(0;0;0) (начало координат) и Р(5;0;0) - можно взять любую, лежащую на этой оси.
Тогда имеем:
|X-Xo Xp-Xo Xm-Xo| |X 5 3 |
|Y-Yo Yp-Yo Ym-Yo | =0. => |Y 0 -1| =0 => X*0 -Y*(-5) +Z*(-5) =0.
|Z-Zo Zp-Zo Zm-Zo | |Z 0 -1|
Это уравнение общего вида с коэффициентами
А1=0, В1= -5, С1= -5 и D1=0.
Вектора нормалей этих плоскостей n1{A;B;C} и n1{A1;B1;C1} или
n1{1;1;0} и n1{0;-5;-5}.
Искомый угол между плоскостями найдем по формуле:
Cosα =|0+(-5)+0|/(√(1+1+0)*√(0+25+25)) =5/(√2*√50) =1/2.
Угол α = arccos(1/2) = 60°.
Пусть a=7, b=17 и с=8√2.
В нашем случае 17²>7²+(8√2)², следовательно треугольник тупоугольный с тупым углом В.
Найдем площадь треугольника по формуле Герона:
S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)], где р - полупериметр треугольника p=12+4√2.
S=√[(12+4√2)(5+4√2)(4√2-5)(12-4√2)] = √[(12²-(4√2)²)((4√2)²-5²)] =28 ед².
С другой стороны, S=(1/2)*a*b*Sin(a^b). Отсюда
Sin(<C)=2S/(a*b)=56/(7*17)≈0,47. <C=arcSin0,47≈28°.
А вот теперь уже можно и по теореме синусов:
с/SinC= a/SinA = b/Sinb.
SinA=a*SinC/c = 7*0,47/(8√2)≈0,29. <A=arcSin0,29≈17°.
SinB=b*SinC/c = 17*0,47/(8√2) ≈ 0,7. <B=arcSin0,7≈45° = 135° (так как
Sin(180°-a)=Sina, а по сумме углов треугольника <B - тупой).
Но можно и так:
Sin(<А)=2S/(b*с)=56/(17*(8√2)=≈0,29. <А=arcSin(0,29)=17°.
Sin(<В)=2S/(a*с)=56/(7*(8√2). <B=arcSin√2/2=45°=135°. И так как треугольник тупоугольный, <В=135°.
ответ: <A=17°, <B=135° и <C=28°.