Внешняя точка - C, центр большой окружности - O пусть K - точка касания маленькой окружности и описанной в условии фигуры; ok ∩ mn = L проведем через неё касательную к обеим окружностям, пусть точки пересечения ей сторон угла MCN A и B. OK ⊥ AB по св-у касательной OK ⊥ MN, тк ol - биссектриса равнобедренного треугольника mon (равенство углов следует из равенства треугольников cmo и cno) таким образом ab || mn значит Δabc ~ Δamn по двум углам и Δabc - равносторонний (∠cmn = = ∠mnc = ∠cab = ∠cba = 60 (угол между касательной и хордой равен половине дуги заключенной между ними)) большая окружность - вневписанная для Δabc => cn = cm = полупериметру пусть сторона abc = a тогда cm = 1.5a ca / cm = 2 / 3 mn по теореме косинусов из Δmon = 18√3 ab = 2 mn / 3 = 12√3 = a осталось найти радиус вписанной окружности в равносторонний треугольник abc со стороной 12√3 S = p * r = a²√3 / 4 r = a^2 √3 / (4 * 1.5a) = a * √3 / 6 = 12 * 3 / 6 = 6 Длина окружности с радиусом 6 = 2π * 6 = 12π ответ: 12π
пусть K - точка касания маленькой окружности и описанной в условии фигуры;
ok ∩ mn = L
проведем через неё касательную к обеим окружностям, пусть точки пересечения ей сторон угла MCN A и B.
OK ⊥ AB по св-у касательной
OK ⊥ MN, тк ol - биссектриса равнобедренного треугольника mon (равенство углов следует из равенства треугольников cmo и cno)
таким образом ab || mn
значит Δabc ~ Δamn по двум углам и Δabc - равносторонний (∠cmn = = ∠mnc = ∠cab = ∠cba = 60 (угол между касательной и хордой равен половине дуги заключенной между ними))
большая окружность - вневписанная для Δabc
=> cn = cm = полупериметру
пусть сторона abc = a
тогда cm = 1.5a
ca / cm = 2 / 3
mn по теореме косинусов из Δmon = 18√3
ab = 2 mn / 3 = 12√3 = a
осталось найти радиус вписанной окружности в равносторонний треугольник abc со стороной 12√3
S = p * r = a²√3 / 4
r = a^2 √3 / (4 * 1.5a) = a * √3 / 6 = 12 * 3 / 6 = 6
Длина окружности с радиусом 6 = 2π * 6 = 12π
ответ: 12π
№1
Треугольник АВС, АД - высота на ВС
ВД = корень ( АВ в квадрате - АД в квадрате) = корень (400-144) = корень 256 =16
ВД : АД = АД : ДС
ДС= АД х АД / ВД = 12 х 12/16 =9
ВС = ВД+ДС=16+9=25
АС = корень (ВС в квадрате - АВ в квадрате) = корень (625-400) =15
cos C = АС/ВС = 15/25=3/5, что соответствует углу 53 град
№3
АД/ВД = ВД/ДС
АД= ВД х ВД/ДС = 24 х 24/18=32
АС = АД+ДС=32+18=50
ВС = корень (ВД в квадрате + ДС в квадрате) = корень (576+324)=30
АВ = корень (АС в квадрате - ВС в квадрате) = корень (2500 - 900)=40
cos A = АВ/АС=40/50=4/5 или 0,8 , что отвечает 36 град
№4
СД = АС х sin угла САД = 8 х sin 37 = 8 х 0,6018 = 4,8
АД = АС х cos угла САД = 8 х cos 37 = 8 х 0,7986 = 6,4
Площадь = СД х АД = 4,8 х 6,4 = 43,5
№2
BД = АВ х sin A = 12 x sin 41 = 12 x 0.6561 = 7.87
АД = АВ х cos A = 12 x cos 41 = 12 x 0.7547 = 9.06
Площадь = АД х ВД = 9,06 х 7,87 = 71,3