Это как бы достаточно классическая задача. А такая пирамида называется тетраэдр. Правильная пирамида. Очень правильная.
Назови вершины банальными буквами ABCD. Далее надо заметить, что отрезок, являющийся расстоянием между двумя противоположными рёбрами (длину которого мы ищем, назовём его банальной букой х), лежит в плоскости, содержащей одно из рёбер, и точку середины противоположного ребра. Точнее даже, этот самый отрезок является высотой равнобедренного треугольника, образованного одним из рёбер, и высотами двух соседних граней. Чему равна высота в равностороннем треугольнике со стороной а? Стандартная формула: а * корень(3) / 2. Итак, что мы имеем: необходимо найти высоту равнобедренного треугольника, в основании которого лежит ребро а, а обе боковые стороны равны, как только что нашли, а * корень(3) / 2. Теорема Пифагора нам тут имеем: х = корень ( (а*корень(3)/2 ) в квадрате - (1/2а) в квадрате); х = а * корень ( 2) / 2.
1. Рассмотрим треугольники ABD и DCA (не забываем, что важно правильно назвать треугольники!).
1) AC=BD (по условию).
2) Сторона AD — общая.
3) AB=CD (как противолежащие стороны параллелограмма).
Следовательно, треугольники ABD и DCA равны (по трем сторонам).
2. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов:
∠BAD=∠CDA.
3. ∠BAD+∠CDA=180º.(как внутренние накрест лежащие углы при AB ∥ CD и секущей AD).
Пусть ∠BAD=∠CDA=xº, тогда
x+x=180
2x=180
x=90
4. Значит, ∠BAD=∠CDA=90º. Следовательно, ABCD — параллелограмм, у которого есть прямой угол. Отсюда, ABCD — прямоугольник ( по второму признаку прямоугольника).
Назови вершины банальными буквами ABCD.
Далее надо заметить, что отрезок, являющийся расстоянием между двумя противоположными рёбрами (длину которого мы ищем, назовём его банальной букой х), лежит в плоскости, содержащей одно из рёбер, и точку середины противоположного ребра. Точнее даже, этот самый отрезок является высотой равнобедренного треугольника, образованного одним из рёбер, и высотами двух соседних граней.
Чему равна высота в равностороннем треугольнике со стороной а? Стандартная формула: а * корень(3) / 2.
Итак, что мы имеем: необходимо найти высоту равнобедренного треугольника, в основании которого лежит ребро а, а обе боковые стороны равны, как только что нашли, а * корень(3) / 2.
Теорема Пифагора нам тут имеем:
х = корень ( (а*корень(3)/2 ) в квадрате - (1/2а) в квадрате);
х = а * корень ( 2) / 2.
Такой получается ответ.
Дано:
ABCD — параллелограмм,
AC и BD -диагонали,
AC=BD.
Доказать: ABCD — прямоугольник.
Доказательство:
1. Рассмотрим треугольники ABD и DCA (не забываем, что важно правильно назвать треугольники!).
1) AC=BD (по условию).
2) Сторона AD — общая.
3) AB=CD (как противолежащие стороны параллелограмма).
Следовательно, треугольники ABD и DCA равны (по трем сторонам).
2. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов:
∠BAD=∠CDA.
3. ∠BAD+∠CDA=180º.(как внутренние накрест лежащие углы при AB ∥ CD и секущей AD).
Пусть ∠BAD=∠CDA=xº, тогда
x+x=180
2x=180
x=90
4. Значит, ∠BAD=∠CDA=90º. Следовательно, ABCD — параллелограмм, у которого есть прямой угол. Отсюда, ABCD — прямоугольник ( по второму признаку прямоугольника).
Что и требовалось доказать.