Проведем сечение пирамиды через высоту и cередину стороны основания. Получим сечение шара в виде круга, который касается основания в его центре Н и касается апофемы в точке К. ОН и ОК - радиусы шара, равны r. ОМ - биссектриса угла α.
r/tgα/2 =HM. Это радиус окружности, вписанной в основание пирамиды, значит сторона основания а = НМ*√3 = r√3/tgα/2.
Площадь треугольника равна а²√3/4 = 3√3r²/4tg²α/2.
Проведем высоту из вершины В, которая поделит АС пополам точкой Н1, при этом образовался прямоугольный треугольник АВН1 с углами 30, 60, 90 и катетом 6 и из него находим боковую сторону АВ по определению косинуса угла 30=6/АВ, АВ=6/cos 30= 6*2/кор(3)=6*2*кор(3)/3=4кор(3). Высота АН будет находиться за пределами треугольника из-за тупого угла и образует прямоугольный треугольник АВН с углами 30,60,90 и гипотенузой 4 кор(3) и высоту АН - катет найдем по определению косинуса угла 30=АН/АВ; АН=АВ*кор(3)/2=4*3/2=6
Проведем сечение пирамиды через высоту и cередину стороны основания. Получим сечение шара в виде круга, который касается основания в его центре Н и касается апофемы в точке К. ОН и ОК - радиусы шара, равны r. ОМ - биссектриса угла α.
r/tgα/2 =HM. Это радиус окружности, вписанной в основание пирамиды, значит сторона основания а = НМ*√3 = r√3/tgα/2.
Площадь треугольника равна а²√3/4 = 3√3r²/4tg²α/2.
Высоту пирамиды находим из треугольника НМS,
HS=HM*tgα = rtgα / tgα/2.
Теперь объем v= 1/3 * 3√3r²/ 4tg²α/2 * rtgα/tgα/2 = r³√3 tgα/4tg³α/2.