Геометрия / / / / / / / // / / / / / /

Если соединить концы медиан, т.е. середины сторон, то мы получим треугольник, подобный данному с коэффициентом подобия 2, т.е размеры этого треугольника будут в 2 раза меньше, чем соответствующие размеры у исходного треугольника. Известно, что площади подобных треугольников относятся, как квадраты коэффициентов подобия, значит площадь нового треугольника будет в 4 раза меньше площади данного треугольника.
А соединяя середины медиан мы ещё в два раза уменьшаем  размеры треугольника, поэтому его площадь будет ещё в 4 раза меньше. Итого
мы должны площадь данного треугольника разделить на 16 и получим 1
ответ: 1

Первое, что приходит на ум в случае с квадратом. Любой треугольник либо является прямоугольным, либо может быть представлен, как два прямоугольных треугольников с общим катетом, который можно считать высотой.
Прямоугольный треугольник можно достроить до прямоугольника, при этом очевидно, что искомый треугольник будет занимать ровно половину этого прямоугольника, а значит и его площадь будет равна половине площади прямоугольника. Sпр = произведению сторон, Sпр тр = 1\2 *Sпр = 1\2 *произведение катетов. Любой из катетов по сути является высотой, а второй - основанием.
В случае, когда искомый треугольник, как оговаривалось выше, не является прямоугольным, а представляется в виде двух прямоугольных, не трудно заметить, что две стороны прямоугольных, а именно их основание составляют основание исходного, а высоты этих треугольников совпадают с высотой исходного.
Нагляднее показать формулой:
S не пр = Sпр1 + Sпр2 = 1\2 *а*b + 1\2*b*c = 1\2*b*(a+c), где b - высота, а (a+c) - основание исходного треугольника. Понимаю, что в тексте не очень, но постарался донести идею.
Трапеция аналогично представляется в виде двух треугольников и прямоугольника. Затем проводится аналогичное доказательство. Вот.