Хочу тебе объяснить чтобы ты могла решать все в миг без Смотри вот уравнение прямой на плоскости
Определение. Любая прямая на плоскости может быть задана уравнением первого порядка
Ах + Ву + С = 0,
причем постоянные А, В не равны нулю одновременно. Оно называют общим уравнением. В зависимости от значений постоянных А,В и С возможны следующие частные случаи:
• C = 0, А ≠0, В ≠ 0 – проходит через начало координат
• А = 0, В ≠0, С ≠0 { By + C = 0}- параллельна оси Ох
• В = 0, А ≠0, С ≠ 0 { Ax + C = 0} – параллельна оси Оу
• В = С = 0, А ≠0 – совпадает с осью Оу
• А = С = 0, В ≠0 – совпадает с осью Ох
Уравнение прямой на плоскости может быть представлено в различном виде в зависимости от каких – либо заданных начальных условий.
Уравнение прямой по точке и вектору нормали
Определение. В декартовой прямоугольной системе координат вектор с компонентами (А, В) перпендикулярен прямой Ах + Ву + С = 0.
Пример. Найти прямую, проходящей через точку А(1, 2) перпендикулярно вектору вектор n(3, -1).
Решение. Составим при А = 3 и В = -1 уравнение: 3х – у + С = 0. Для нахождения коэффициента С подставим в полученное выражение координаты заданной точки А. Получаем: 3 – 2 + C = 0, следовательно, С = -1. Окончательно получим: 3х – у – 1 = 0.
Уравнение прямой, проходящей через две точки
Пусть в заданы две точки M 1 ( x 1 , y 1 , z 1 ) и M2 ( x 2, y 2 , z 2 ), тогда прямая, проходящей через эти точки:
уравнение прямой на плоскости
Если какой-либо из знаменателей равен нулю, следует приравнять нулю соответствующий числитель.На плоскости, записанное выше, упрощается:
уравнение прямой на плоскости
если х 1 ≠ х2 и х = х 1 , если х 1 = х2 .
Дробь угловой коэффициент= k называется угловым коэффициентом .
Пример. Найти прямую, проходящей через точки А(1, 2) и В(3, 4).
Решение. Применяя записанную выше формулу, получаем:
уравнение линии
Уравнение прямой по точке и угловому коэффициенту
Если общее уравнение прямой на плоскости Ах + Ву + С = 0 привести к виду:
уравнение с угловым коэффициентом
и обозначить уравнение с угловым коэффициентом, то полученное уравнением с угловым коэффициентом k .
Уравнение прямой по точке и направляющему вектору
По аналогии с пунктом, рассматривающим уравнение через вектор нормали можно ввести задание прямой через точку и направляющий вектор.
Определение. Каждый ненулевой вектор направляющий вектор( α1 , α2 ), компоненты которого удовлетворяют условию А α1 + В α2 = 0 называется направляющим вектором прямой
Ах + Ву + С = 0.
Пример. Найти прямую с направляющим вектором вектор a(1, -1) и проходящей через точку А(1, 2).
Решение.Будем искать в виде: Ax + By + C = 0. В соответствии с определением, коэффициенты должны удовлетворять условиям:
1 * A + (-1) * B = 0, т.е. А = В.
Тогда получим вид: Ax + Ay + C = 0, или x + y + C / A = 0. при х = 1, у = 2 получаем С/ A = -3, т.е. искомое:
х + у - 3 = 0
Уравнение прямой в отрезках
Если в общем уравнении Ах + Ву + С = 0 С≠0, то, разделив на –С, получим: прямая в отрезках или
соотношение в отрезках, где
введем обозначения
Геометрический смысл коэффициентов в том, что коэффициент а является координатой точки пересечения прямой с осью Ох, а b – координатой точки пересечения с осью Оу.
Пример. Задано общее уравнение х – у + 1 = 0. Найти его в виде прямой в отрезках.
С = 1, получено уравнение в отрезках, а = -1, b = 1.
Нормальное уравнение прямой
Если уравнение прямой на плоскости Ах + Ву + С = 0 умножить на число нормирующий множитель, которое называется нормирующем множителем , то получим
xcosφ + ysinφ - p = 0 –
нормальное уравнение. Знак ± нормирующего множителя надо выбирать так, чтобы μ * С < 0. р – длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, а φ - угол, образованный этим перпендикуляром с положительным направлением оси Ох.
Пример. Дано 12х – 5у – 65 = 0. Требуется написать различные типы уравнений этой линии.
уравнение в отрезках: линия в отрезках
уравнение с угловым коэффициентом: (делим на 5)
уравнение с угловым коэффициентом
нормальное уравнение:
; cos φ = 12/13; sin φ= -5/13; p = 5.
Cледует отметить, что не каждую прямую можно представить в отрезках, например, параллельные осям или проходящие через начало координат.
Пример. Прямая отсекает на координатных осях равные положительные отрезки. Найти её, если площадь треугольника, образованного этими отрезками равна 8 см 2 . По сути все легко подумай сама и ты справишся
Хочу тебе объяснить чтобы ты могла решать все в миг без Смотри вот уравнение прямой на плоскости
Определение. Любая прямая на плоскости может быть задана уравнением первого порядка
Ах + Ву + С = 0,
причем постоянные А, В не равны нулю одновременно. Оно называют общим уравнением. В зависимости от значений постоянных А,В и С возможны следующие частные случаи:
• C = 0, А ≠0, В ≠ 0 – проходит через начало координат
• А = 0, В ≠0, С ≠0 { By + C = 0}- параллельна оси Ох
• В = 0, А ≠0, С ≠ 0 { Ax + C = 0} – параллельна оси Оу
• В = С = 0, А ≠0 – совпадает с осью Оу
• А = С = 0, В ≠0 – совпадает с осью Ох
Уравнение прямой на плоскости может быть представлено в различном виде в зависимости от каких – либо заданных начальных условий.
Уравнение прямой по точке и вектору нормали
Определение. В декартовой прямоугольной системе координат вектор с компонентами (А, В) перпендикулярен прямой Ах + Ву + С = 0.
Пример. Найти прямую, проходящей через точку А(1, 2) перпендикулярно вектору вектор n(3, -1).
Решение. Составим при А = 3 и В = -1 уравнение: 3х – у + С = 0. Для нахождения коэффициента С подставим в полученное выражение координаты заданной точки А. Получаем: 3 – 2 + C = 0, следовательно, С = -1. Окончательно получим: 3х – у – 1 = 0.
Уравнение прямой, проходящей через две точки
Пусть в заданы две точки M 1 ( x 1 , y 1 , z 1 ) и M2 ( x 2, y 2 , z 2 ), тогда прямая, проходящей через эти точки:
уравнение прямой на плоскости
Если какой-либо из знаменателей равен нулю, следует приравнять нулю соответствующий числитель.На плоскости, записанное выше, упрощается:
уравнение прямой на плоскости
если х 1 ≠ х2 и х = х 1 , если х 1 = х2 .
Дробь угловой коэффициент= k называется угловым коэффициентом .
Пример. Найти прямую, проходящей через точки А(1, 2) и В(3, 4).
Решение. Применяя записанную выше формулу, получаем:
уравнение линии
Уравнение прямой по точке и угловому коэффициенту
Если общее уравнение прямой на плоскости Ах + Ву + С = 0 привести к виду:
уравнение с угловым коэффициентом
и обозначить уравнение с угловым коэффициентом, то полученное уравнением с угловым коэффициентом k .
Уравнение прямой по точке и направляющему вектору
По аналогии с пунктом, рассматривающим уравнение через вектор нормали можно ввести задание прямой через точку и направляющий вектор.
Определение. Каждый ненулевой вектор направляющий вектор( α1 , α2 ), компоненты которого удовлетворяют условию А α1 + В α2 = 0 называется направляющим вектором прямой
Ах + Ву + С = 0.
Пример. Найти прямую с направляющим вектором вектор a(1, -1) и проходящей через точку А(1, 2).
Решение.Будем искать в виде: Ax + By + C = 0. В соответствии с определением, коэффициенты должны удовлетворять условиям:
1 * A + (-1) * B = 0, т.е. А = В.
Тогда получим вид: Ax + Ay + C = 0, или x + y + C / A = 0. при х = 1, у = 2 получаем С/ A = -3, т.е. искомое:
х + у - 3 = 0
Уравнение прямой в отрезках
Если в общем уравнении Ах + Ву + С = 0 С≠0, то, разделив на –С, получим: прямая в отрезках или
соотношение в отрезках, где
введем обозначения
Геометрический смысл коэффициентов в том, что коэффициент а является координатой точки пересечения прямой с осью Ох, а b – координатой точки пересечения с осью Оу.
Пример. Задано общее уравнение х – у + 1 = 0. Найти его в виде прямой в отрезках.
С = 1, получено уравнение в отрезках, а = -1, b = 1.
Нормальное уравнение прямой
Если уравнение прямой на плоскости Ах + Ву + С = 0 умножить на число нормирующий множитель, которое называется нормирующем множителем , то получим
xcosφ + ysinφ - p = 0 –
нормальное уравнение. Знак ± нормирующего множителя надо выбирать так, чтобы μ * С < 0. р – длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, а φ - угол, образованный этим перпендикуляром с положительным направлением оси Ох.
Пример. Дано 12х – 5у – 65 = 0. Требуется написать различные типы уравнений этой линии.
уравнение в отрезках: линия в отрезках
уравнение с угловым коэффициентом: (делим на 5)
уравнение с угловым коэффициентом
нормальное уравнение:
; cos φ = 12/13; sin φ= -5/13; p = 5.
Cледует отметить, что не каждую прямую можно представить в отрезках, например, параллельные осям или проходящие через начало координат.
Пример. Прямая отсекает на координатных осях равные положительные отрезки. Найти её, если площадь треугольника, образованного этими отрезками равна 8 см 2 . По сути все легко подумай сама и ты справишся
1. По заданным катетам а и b определить биссектрису прямого утла.
Решение.
S S S ; ∆ABC = ∆BCD + ∆ACD
sin 45 ; 2
1 sin 45
2
1
2
1 = ° + ° ab alc blc
ab l sin 45 (a b); = c ° +
( ) . 2
sin 45 a b
ab
a b
ab lc + = + ° =
2. В прямоугольном треугольнике биссектриса острого угла делит противоположный
катет на отрезки длиной 4 и 5 см. Определить площадь треугольника.
Решение.
5
4 = c
b (на основании свойства биссектрисы внутреннего
угла треугольника).
Но ; 81 2 2
c − b =
12,
5
4
81, 2 2
⇒ =
=
− =
b
c
b
c b
9 12 54 см . 2
1
2
1 S 2 = ab = ⋅ ⋅ =
3. Найти площадь прямоугольного треугольника, если даны радиусы R и r описанного и
вписанного в него кругов.
Решение.
Известно, что в прямоугольном треугольнике
. 2
1
a + b = 2R + 2r, S = ab
Возведем в квадрат:
2 ( ) 2 2 , 4S 4( ) , 2 2 2 2 2
a + b + ab = R + r c + = R + r
но 2 , 4 4S 4( ) , S 2 . 2 2 2
c = R R + = R + r = Rr + r
4. В прямоугольном треугольнике высота, проведенная к гипотенузе, делит треугольник
на два треугольника с площадями 384 и 216 см2
. Найти гипотенузу.
Решение.
, 2
1
2
1 c ab = ch
, 2 600 1200
hc hc hc
ab
c = ⋅ = =
216 384. 4
1
384, 2
1
216, 2
1
2 = ⋅
=
=
×
c c c
c c
c c
a b h
b h
a h
Но 216 384, 4
1 , , 2 4 = = = ⋅ hc acbc hc acbc hc
50 см. 24
1200 4 6 66 6 4 4 4, 4 6 24, 4 hc = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ hc = ⋅ = c = =
5. В треугольнике известны длины двух сторон — 6 и 3 см. Найти длину третьей
стороны, если полусумма высот, проведенных к данным сторонам, равна третьей высоте.
Решение.
а=6см, b=3см, , 2 , 2 c a b c
a b h h h h h h = + = +
, 4. 2
3
1
6
1 , 1 1 2 , 2S 2 2S 2S
+ = + = + = c = a b c a b c c
6. Трапеция разделена диагоналями на четыре части. Определить ее площадь, если
известны площади ее частей, прилежащих к основаниям S1 и S2.
Решение.
1. S3 = S4 (доказать самостоятельно).
2. sin α, 2
1 S1 = BM ⋅ MC ⋅
sin α, sin( ) 180 α sin α, 2
1 S2 = AM ⋅ MD ⋅ ° − =
sin α. 4
1 S S 2
1 2 = AM ⋅ BM ⋅ MC ⋅ MD ⋅
3. sin α, 2
1 S3 = AM ⋅ BM ⋅ sin α, 2
1 S4 = CM ⋅ MD ⋅
sin α S S S S , 4
1 S S 1 2 3 4
2
3 4 = AM ⋅ BM ⋅ MC ⋅ MD ⋅ ⇒ =
S S S S , S S S 2 S S ( S S ) .
2
3 = 4 = 1 2 ABCD = 1 + 2 + 1 2 = 1 + 2
7. Стороны треугольника 13, 14, 15см. Определить площадь и радиусы описанной (R) и
вписанной (r) окружностей.
Решение.
( )( )( ) 21, 2
13 14 15
2
S , = + + = + + = − − − = a b c
p p a p b p c p
S 21 8 7 6 3 7 2 2 2 7 2 3 2 2 3 7 84с ,
2 = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = м
м
p
r
abc R 4с
21
S 2 2 3 7
см 8
65
4 2 2 3 7
13 14 15
4S = ⋅ ⋅ ⋅ = = = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅ = =
8. По трем высотам треугольника ha, hb, hc вычислить его площадь.
Решение.
S = p( )( )( ) p − a p − b p − c =
= + − ⋅ + − ⋅ + − ⋅ + + = 2 2 2 2
a b c b c a a c b a b c
=
+ −
+ −
+ −
= + +
a b c b c a a c b b b c h h h h h h h h h h h h
S S S S S S S S S S S S
, 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 S2
+ −
+ −
+ −
= + +
a b c b c a a c b b b c h h h h h h h h h h h h
, 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
S
1
+ −
+ −
+ −
= + +
a b c b c a a c b b b c h h h h h h h h h h h h
. 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 S
2
1 −
+ −
+ −
+ −
= + +
a b c b c a a c b b b c h h h h h h h h h h h h