Пусть Д — точка пересечения высот СМ и АN ΔABC. Из точек М и N отрезок BД виден под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром BД (это и есть окружность, описанная около ΔМВN с радиусом R). Площадь окружности S=πR², откуда R²=S/π=π/3π=1/3 R=1/√3. Отрезок AС виден из точек М и N под прямым углом, значит точки М и N лежат на окружности с диаметром AС. По условию <AВС острый, т.е. меньше 90°. Тогда <AСВ =<AСN = 180°-<AMN =<BMN. Значит ΔCBА и ΔMBN подобны по 2 углам, тогда МВ/СВ=ВN/ВА=МN/АС. Из прямоугольного ΔВАN найдем ВN/ВА=cos B. МN/АС=cos B MN=2cos B. Также по теореме синусов MN=2R*sin B=2sin B/√3 Приравниваем 2cos B=2sin B/√3 sin B/cos B=√3 tg B=√3 <B=60° Значит <ВСМ=180-90-60=30° ответ: 30°
Пусть продолжение AM за точку M пересекает BC (точнее, продолжение этого отрезка за точку С) в точке K. Тогда 1) Треугольник ABK - равнобедренный, так как ∠BKA = ∠KAD = ∠KAB; то есть BK = AB = 5; 2) AM = MK; тут можно сослаться на теорему Фалеса, а можно просто сказать, что ΔAMD = ΔKMC; поскольку есть пара равных сторон MD = MC и углы при равных сторонах тоже равны (из за параллельности оснований трапеции). То есть BM - медиана к основанию у равнобедренного треугольника ABK. Поэтому BM перпендикулярно AM, и BM = 3; (получился "египетский" треугольник).
Площадь окружности S=πR², откуда R²=S/π=π/3π=1/3
R=1/√3.
Отрезок AС виден из точек М и N под прямым углом, значит точки М и N лежат на окружности с диаметром AС. По условию <AВС острый, т.е. меньше 90°.
Тогда <AСВ =<AСN = 180°-<AMN =<BMN.
Значит ΔCBА и ΔMBN подобны по 2 углам, тогда МВ/СВ=ВN/ВА=МN/АС.
Из прямоугольного ΔВАN найдем ВN/ВА=cos B.
МN/АС=cos B
MN=2cos B.
Также по теореме синусов MN=2R*sin B=2sin B/√3
Приравниваем 2cos B=2sin B/√3
sin B/cos B=√3
tg B=√3
<B=60°
Значит <ВСМ=180-90-60=30°
ответ: 30°
Тогда
1) Треугольник ABK - равнобедренный, так как ∠BKA = ∠KAD = ∠KAB; то есть BK = AB = 5;
2) AM = MK; тут можно сослаться на теорему Фалеса, а можно просто сказать, что ΔAMD = ΔKMC; поскольку есть пара равных сторон MD = MC и углы при равных сторонах тоже равны (из за параллельности оснований трапеции).
То есть BM - медиана к основанию у равнобедренного треугольника ABK.
Поэтому BM перпендикулярно AM, и BM = 3; (получился "египетский" треугольник).