Геометрия 9 класс. Тема "Окружность и круг" (все задания, с решением)

Дано: ∆ABC = ∆ABD. AC = BD; BC = AD; AB - общая; CO = OD; ∠1 = ∠2; ∠BAC = ∠ABD; ∠C = ∠D.

решение:AO = BO; AO = AD - OD, BO = BC - OC. ∠3 = ∠4; ∠3 = ∠BAC - ∠1, ∠4 = ∠ABD - ∠2. ∠5 = ∠6. вертикальные
CO = OD; 2. CA = BD; 3. AO = OB. ∆AOC = ∆BOD (III признак) IV. 1. AC = BD; 2. ∠3 = ∠4; 3. ∠C = ∠D. ∆AOC = ∆BOD (II признак) II. 1. CO = OD; 2. ∠5 = ∠6; 3. ∠C = ∠D. ∆AOC = ∆BOD (II признак) III. 1. AO = OB; 2. AC = BD; 3. ∠3 = ∠4. ∆AOC = ∆BOD (I признак) V. 1. AC = BD; 2. ∠C = ∠D; 3. CO = OD. ∆AOC = ∆BOD (I признак) VI. 1. CO = OD; 2. AO = OB; 3. ∠5 = ∠6. ∆AOC = ∆BOD (I признак) VII. 1. AO = OB; 2. ∠5 = ∠6; 3. ∠3 = ∠4. ∆AOC = ∆BOD (II признак)

составим уравнения прямых АВ и СД

1) Прямая АВ проходит через точки А (8; -3) и В(2; 5)

у = кх + в

Подставляем координаты точек А и В и получаем систему уравнений

-3 = к·8 + в

5 = к· 2 + в

вычтем из 1-го уравнения 2-е и найдём к

-8 = 6к ---> к = -4/3

Длина отрезка АВ равна

АВ = √[(2 - 8)² + (5 - (-3))²] = 10

Для противоположной стороны СД проделываем те же действия

у = кх + в

подставляем координаты точек С и Д

11 = к·10 + в

3 = к· 16 + в

вычитаем из 1-го уравнения 2-е

8 = -6к ---> к = -4/3

Длина отрезка СД равна

СД = √[(3 - 11)² + (16 - 10)²] = 10

Поскольку угловые коэффициенты (к = -4/3) одинаковые у прямых АВ и СД,

то АВ//СД (параллельны!)

Длины отрезков АВ и СД также одинаковы АВ = СД = 10

По известной теореме : Если две противоположные стороны четырехугольника равны и параллельны, то этот четырехугольник - параллелограмм, что и требовалось доказать